Mutlak değer fonksiyonunun türevi Test 1

g(x) = |ln(x)| fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi kaçtır?

A) 0
B) 1
C) -1
D) Türev yoktur

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $g(x) = |\ln(x)|$ ve türevini $x = 1$ noktasında arıyoruz.

• Adım 1: Mutlak Değer Fonksiyonunu Anlamak

• Mutlak değer fonksiyonu, içindeki ifadenin işaretine göre farklı şekillerde tanımlanır. Genel olarak, $|u|$ ifadesi:

  • $u \ge 0$ ise $|u| = u$
  • $u < 0$ ise $|u| = -u$

  Bizim fonksiyonumuzda $u = \ln(x)$'tir. Bu nedenle, $\ln(x)$'in işaretini $x=1$ noktası civarında incelememiz gerekiyor.

• Adım 2: $\ln(x)$'in İşaretini Belirlemek

• Doğal logaritma fonksiyonu $\ln(x)$'in özelliklerini hatırlayalım:

  • Eğer $x > 1$ ise, $\ln(x) > 0$ olur. (Örneğin, $\ln(e) = 1$, $\ln(2) \approx 0.69$)
  • Eğer $x = 1$ ise, $\ln(x) = \ln(1) = 0$ olur.
  • Eğer $0 < x < 1$ ise, $\ln(x) < 0$ olur. (Örneğin, $\ln(1/e) = -1$, $\ln(0.5) \approx -0.69$)
• Adım 3: $g(x)$ Fonksiyonunu Parçalı Fonksiyon Olarak Yazmak

• Yukarıdaki işaret analizine göre, $g(x) = |\ln(x)|$ fonksiyonunu parçalı olarak yazabiliriz:

  • $0 < x < 1$ için: $\ln(x) < 0$ olduğundan, $g(x) = -(\ln(x)) = -\ln(x)$
  • $x \ge 1$ için: $\ln(x) \ge 0$ olduğundan, $g(x) = \ln(x)$

  Böylece, $g(x)$ fonksiyonu şu şekildedir:

  $g(x) = \begin{cases} -\ln(x) & \text{if } 0 < x < 1 \\ \ln(x) & \text{if } x \ge 1 \end{cases}$

• Adım 4: $x=1$ Noktasında Türevi İncelemek (Sağ ve Sol Türevler)

• Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için, o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin var olması ve birbirine eşit olması gerekir. $x=1$ noktasını inceleyelim:

  • Sağdan Türev ($x \to 1^+$):
    $x > 1$ için $g(x) = \ln(x)$'tir. Bu kısmın türevi $g'(x) = \frac{1}{x}$'tir.
    $x=1$ noktasındaki sağdan türev: $g'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$.
  • Soldan Türev ($x \to 1^-$):
    $0 < x < 1$ için $g(x) = -\ln(x)$'tir. Bu kısmın türevi $g'(x) = -\frac{1}{x}$'tir.
    $x=1$ noktasındaki soldan türev: $g'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (-\frac{1}{x}) = -\frac{1}{1} = -1$.
• Adım 5: Sonucu Değerlendirmek

• $x=1$ noktasındaki sağdan türev $1$ iken, soldan türev $-1$'dir. Yani $g'(1^+) \ne g'(1^-)$ ($1 \ne -1$).

  Sağdan ve soldan türevler birbirine eşit olmadığı için, $g(x) = |\ln(x)|$ fonksiyonunun $x=1$ noktasında türevi yoktur. Bu durum, grafikte $x=1$ noktasında "keskin bir köşe" oluştuğunu gösterir.

Cevap D seçeneğidir.