Mutlak değer fonksiyonunun türevi

Question

Mutlak değerli bir ifadenin türevini alırken sıfır olduğu noktada ne yapacağımı tam anlayamadım. Fonksiyon parçalı gibi davranıyor ama x=0 noktasında türevin nasıl inceleneceğini karıştırıyorum. Grafikte köşe oluşan bu noktada türev var mıdır, yok mudur onu öğrenmek istiyorum.

Answer 1

📐 Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

Mutlak değer fonksiyonu, matematikte karşımıza sık çıkan ve türev alırken özel dikkat gerektiren bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun türevini anlamak için önce mutlak değer kavramını hatırlayalım.

🔍 Mutlak Değer Fonksiyonunu Hatırlayalım

Bir \( x \) reel sayısının mutlak değeri:

• 📌 \( |x| = x \) eğer \( x \geq 0 \) ise
• 📌 \( |x| = -x \) eğer \( x < 0 \) ise

Yani mutlak değer fonksiyonu, sayı doğrusunda bir sayının sıfıra olan uzaklığını verir.

🧮 Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

Mutlak değer fonksiyonu \( f(x) = |x| \) parçalı bir fonksiyon olarak yazılabilir:

\( f(x) = \begin{cases} x & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x & \text{eğer } x < 0 \end{cases} \)

Bu durumda türevini parçalı olarak inceleyebiliriz:

• ✅ \( x > 0 \) için: \( f'(x) = 1 \)
• ✅ \( x < 0 \) için: \( f'(x) = -1 \)
• ❓ \( x = 0 \) için: Türev yoktur!

🎯 Neden \( x = 0 \) Noktasında Türev Yok?

\( x = 0 \) noktasında sağdan ve soldan türevleri karşılaştıralım:

• ➡️ Sağdan türev: \( \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 \)
• ⬅️ Soldan türev: \( \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 \)

Sağdan ve soldan türevler farklı olduğu için (\( 1 \neq -1 \)), \( x = 0 \) noktasında türev tanımlı değildir.

💡 Genel Bir Kural

Herhangi bir \( f(x) \) fonksiyonunun mutlak değerinin türevi için şu kuralı kullanabiliriz:

\( \frac{d}{dx}|f(x)| = \frac{f(x)}{|f(x)|} \cdot f'(x) = \text{işaret}(f(x)) \cdot f'(x) \)

Burada \( \text{işaret}(f(x)) \), \( f(x) \) fonksiyonunun işaret fonksiyonudur ve \( f(x) \neq 0 \) olduğu noktalarda geçerlidir.

📝 Örnekler

Örnek 1: \( f(x) = |x-2| \) fonksiyonunun türevini bulalım.

• 📌 \( x > 2 \) için: \( f'(x) = 1 \)
• 📌 \( x < 2 \) için: \( f'(x) = -1 \)
• 📌 \( x = 2 \) için: Türev yoktur

Örnek 2: \( g(x) = |x^2 - 4| \) fonksiyonunun türevini inceleyelim.

• 📌 \( x^2 - 4 > 0 \) yani \( x < -2 \) veya \( x > 2 \) için: \( g'(x) = 2x \)
• 📌 \( x^2 - 4 < 0 \) yani \( -2 < x < 2 \) için: \( g'(x) = -2x \)
• 📌 \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) noktalarında: Türev yoktur

⚠️ Önemli Uyarılar

• 🎯 Mutlak değer fonksiyonlarının "köşe" noktalarında türev yoktur
• 🎯 Türevi alırken her zaman fonksiyonu parçalara ayırmayı düşünün
• 🎯 Mutlak değerin içindeki ifadenin sıfır olduğu noktaları kontrol edin