Bir mühendis, f(x) = |x² - 16| fonksiyonunu analiz ediyor. Fonksiyonun x = 4 noktasında türevinin olup olmadığını ve varsa değerini bulmak istiyor.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevinin varlığını ve değerini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Mühendislerin sıklıkla karşılaştığı bu tür fonksiyonları anlamak, matematiksel analiz becerilerinizi geliştirmek için harika bir fırsattır.
Bize verilen fonksiyon $f(x) = |x^2 - 16|$ ve türevinin olup olmadığını kontrol etmemiz gereken nokta $x = 4$.
İlk olarak, mutlak değerin içindeki ifadeyi $x=4$ noktasında değerlendirelim:
$x^2 - 16 = 4^2 - 16 = 16 - 16 = 0$.
Mutlak değerin içindeki ifade sıfır olduğunda, fonksiyonun bu noktada "keskin bir köşe" yapma ihtimali vardır. Bu tür noktalarda türev genellikle mevcut değildir. Türevin varlığını kesin olarak belirlemek için sağdan ve soldan türevlere bakmamız gerekir.
Mutlak değer fonksiyonunu türev alabilmek için parçalı fonksiyon şeklinde ifade etmeliyiz. Bunun için $x^2 - 16$ ifadesinin işaretini incelemeliyiz.
$x^2 - 16 = 0$ denkleminin kökleri $x = 4$ ve $x = -4$'tür.
Biz $x=4$ noktasındaki türevi incelediğimiz için, $x$'in 4'ten küçük ve 4'ten büyük olduğu durumları kullanacağız.
$x=4$ noktasının solunda, yani $x < 4$ için (örneğin $x=3.99$), $f(x) = 16 - x^2$ fonksiyonunu kullanırız.
Türevin tanımını kullanarak soldan türevi bulalım:
$f'(4^-) = \lim_{x \to 4^-} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4}$
Öncelikle $f(4)$ değerini bulalım: $f(4) = |4^2 - 16| = |16 - 16| = |0| = 0$.
Şimdi limiti hesaplayalım:
$f'(4^-) = \lim_{x \to 4^-} \frac{(16 - x^2) - 0}{x - 4}$
$f'(4^-) = \lim_{x \to 4^-} \frac{16 - x^2}{x - 4}$
Pay kısmını çarpanlarına ayıralım: $16 - x^2 = -(x^2 - 16) = -(x - 4)(x + 4)$.
$f'(4^-) = \lim_{x \to 4^-} \frac{-(x - 4)(x + 4)}{x - 4}$
$x \to 4^-$ olduğundan $x \neq 4$, bu yüzden $(x-4)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$f'(4^-) = \lim_{x \to 4^-} -(x + 4)$
$f'(4^-) = -(4 + 4) = -8$.
Demek ki, fonksiyonun $x=4$ noktasındaki soldan türevi $-8$'dir.
$x=4$ noktasının sağında, yani $x > 4$ için (örneğin $x=4.01$), $f(x) = x^2 - 16$ fonksiyonunu kullanırız.
Türevin tanımını kullanarak sağdan türevi bulalım:
$f'(4^+) = \lim_{x \to 4^+} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4}$
$f(4)$ değerini zaten $0$ olarak bulmuştuk.
$f'(4^+) = \lim_{x \to 4^+} \frac{(x^2 - 16) - 0}{x - 4}$
$f'(4^+) = \lim_{x \to 4^+} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$
Pay kısmını çarpanlarına ayıralım: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
$f'(4^+) = \lim_{x \to 4^+} \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4}$
$x \to 4^+$ olduğundan $x \neq 4$, bu yüzden $(x-4)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$f'(4^+) = \lim_{x \to 4^+} (x + 4)$
$f'(4^+) = (4 + 4) = 8$.
Demek ki, fonksiyonun $x=4$ noktasındaki sağdan türevi $8$'dir.
Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevinin var olabilmesi için, o noktadaki soldan türevinin sağdan türevine eşit olması gerekir.
Bizim bulduğumuz değerler:
Gördüğümüz gibi, $f'(4^-) \neq f'(4^+)$'dir (yani $-8 \neq 8$).
Bu durumda, $f(x) = |x^2 - 16|$ fonksiyonunun $x = 4$ noktasında türevi yoktur.
Bu tür mutlak değer fonksiyonları, mutlak değerin içindeki ifade sıfır olduğunda genellikle bir "köşe" veya "kırılma noktası" oluşturur. Bu noktalarda fonksiyon sürekli olsa bile türevlenebilir olmayabilir. Bu durum, grafiği çizdiğinizde $x=4$ noktasında sivri bir uç oluştuğunu görmenizle de anlaşılabilir.
Cevap A seçeneğidir.
