Bugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun belirli bir noktadaki soldan türevini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = |x^2 - 25|$ ve bizden $x = 5$ noktasındaki soldan türevi isteniyor.
- Adım 1: Fonksiyonu ve İstenen Noktayı Anlamak
- Verilen fonksiyon $f(x) = |x^2 - 25|$ şeklindedir. Bizden $x = 5$ noktasındaki soldan türevini bulmamız isteniyor. Mutlak değer fonksiyonlarında türev alırken, mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini incelemek çok önemlidir.
- Adım 2: Mutlak Değer İçindeki İfadeyi $x=5$ Noktasının Solunda İncelemek
- Mutlak değerin içindeki ifade $g(x) = x^2 - 25$'tir. Bu ifadenin $x=5$ noktasındaki değerini bulalım: $g(5) = 5^2 - 25 = 25 - 25 = 0$.
- Türevin soldan istenmesi, $x$ değerlerinin $5$'ten küçük ama $5$'e çok yakın olduğu durumları incelememiz gerektiği anlamına gelir (yani $x \to 5^-$).
- Eğer $x < 5$ (ve $x$ pozitifse, örneğin $x \in (-5, 5)$ aralığında), $x^2$ değeri $25$'ten küçük olacaktır. Bu durumda $x^2 - 25$ ifadesi negatif bir değer alır.
- Örneğin, $x = 4.9$ alırsak, $(4.9)^2 - 25 = 24.01 - 25 = -0.99$, yani negatiftir.
- Mutlak değerin tanımına göre, eğer bir ifade negatifse, mutlak değer dışına çıkarken önüne eksi işareti alarak çıkar: $|A| = -A$ (eğer $A < 0$ ise).
- Dolayısıyla, $x < 5$ için (ve $x$ $5$'e yakınken), $f(x) = |x^2 - 25| = -(x^2 - 25) = -x^2 + 25$ olur.
- Adım 3: Fonksiyonun Soldan Türevini Hesaplamak
- Şimdi $x < 5$ için basitleştirdiğimiz $f(x) = -x^2 + 25$ fonksiyonunun türevini alabiliriz.
- Bir polinom fonksiyonunun türevini alırken, $x^n$'in türevi $nx^{n-1}$ kuralını kullanırız. Sabit terimin türevi ise $0$'dır.
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 25) = -2x^{2-1} + 0 = -2x$.
- Adım 4: Türevi $x=5$ Noktasında Değerlendirmek
- Soldan türev, $x$ $5$'e soldan yaklaşırken türev fonksiyonunun aldığı değerdir.
- $f'(5^-) = \lim_{x \to 5^-} f'(x) = \lim_{x \to 5^-} (-2x)$.
- $x$ yerine $5$ koyarak limiti hesaplarız: $-2(5) = -10$.
Bu durumda, $f(x) = |x^2 - 25|$ fonksiyonunun $x = 5$ noktasındaki soldan türevi $-10$'dur.
Cevap B seçeneğidir.
