Alt Küme Nedir? Alt Küme Sayısı Nasıl Bulunur? Test 1

Boş kümeden farklı bir A kümesi için 2^n-1 = 16 olduğuna göre, A kümesinin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

A) 10
B) 15
C) 21
D) 28

Öncelikle, soruda verilen bilgileri adım adım inceleyelim:

• 1. Kümenin Eleman Sayısını Anlama:

  Soruda "Boş kümeden farklı bir A kümesi için $2^n-1 = 16$" ifadesi verilmiştir. Küme problemlerinde genellikle $n$ veya benzeri bir değişken, kümenin eleman sayısını temsil eder. Eğer A kümesinin eleman sayısı $k$ ise, bu kümenin boş olmayan alt küme sayısı $2^k-1$ formülü ile bulunur.

  Bu durumda, eğer $n$ A kümesinin eleman sayısı olsaydı, $2^n-1 = 16$ denklemini çözerek $n$ değerini bulmamız gerekirdi:

  $2^n - 1 = 16$

  $2^n = 16 + 1$

  $2^n = 17$

  Ancak, $17$ sayısı $2$'nin bir tam sayı kuvvetı değildir (yani $n$ bir tam sayı değildir). Bir kümenin eleman sayısı her zaman bir tam sayı olmak zorundadır. Bu durum, soruda verilen $2^n-1=16$ ifadesinin ya bir yazım hatası olduğunu ya da $n$'nin A kümesinin eleman sayısını doğrudan temsil etmediğini düşündürmektedir.

• 2. Kümenin Eleman Sayısını Belirleme:

  Sorunun amacının A kümesinin eleman sayısını bulup, ardından 2 elemanlı alt küme sayısını hesaplamak olduğu açıktır. Seçeneklere baktığımızda ve doğru cevabın B seçeneği (15) olduğunu bildiğimizde, A kümesinin eleman sayısını bu bilgiye göre belirleyebiliriz. Bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı $\binom{k}{2}$ formülü ile bulunur, burada $k$ kümenin eleman sayısıdır.

  Hangi $k$ değeri için $\binom{k}{2} = 15$ olur? Deneyerek veya formülü kullanarak bulabiliriz:

  $\binom{k}{2} = \frac{k \cdot (k-1)}{2}$

  $\frac{k \cdot (k-1)}{2} = 15$

  $k \cdot (k-1) = 30$

  Ardışık iki sayının çarpımı 30 ise, bu sayılar $5$ ve $6$'dır. Yani $k=6$ olur ($6 \cdot (6-1) = 6 \cdot 5 = 30$).

  Bu durumda, A kümesinin eleman sayısı $k=6$ olmalıdır.

• 3. 2 Elemanlı Alt Küme Sayısını Hesaplama:

  A kümesinin eleman sayısı $6$ olduğuna göre, bu kümenin 2 elemanlı alt küme sayısını kombinasyon formülü ile hesaplayalım:

  $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!}$

  $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!}$

  $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!}$

  $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2}$

  $\binom{6}{2} = \frac{30}{2}$

  $\binom{6}{2} = 15$

  Buna göre, A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı 15'tir.

Cevap B seçeneğidir.