A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az 3 eleman bulunur?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 26
Bu soruda, verilen bir kümenin alt kümelerinden belirli bir koşulu sağlayanları bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Kümenin Eleman Sayısını Belirleyelim
- Verilen küme $A = \{a, b, c, d, e\}$'dir. Bu kümenin eleman sayısı $n(A) = 5$'tir.
- 2. Adım: "En Az 3 Eleman Bulunur" İfadesini Anlayalım
- Bir alt kümede "en az 3 eleman bulunması" demek, o alt kümenin eleman sayısının 3 veya daha fazla olması demektir. Yani, 3 elemanlı, 4 elemanlı veya 5 elemanlı alt kümeleri bulmamız gerekiyor.
- 3. Adım: Her Bir Durum İçin Alt Küme Sayılarını Hesaplayalım
- Belirli sayıda elemanı olan alt kümelerin sayısını bulmak için kombinasyon formülünü kullanırız. $n$ elemanlı bir kümeden $k$ elemanlı alt küme sayısı $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ formülüyle bulunur.
- a) 3 elemanlı alt kümeler:
- $n=5$ ve $k=3$ için: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ alt küme vardır.
- b) 4 elemanlı alt kümeler:
- $n=5$ ve $k=4$ için: $\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 5$ alt küme vardır.
- c) 5 elemanlı alt kümeler:
- $n=5$ ve $k=5$ için: $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1$ alt küme vardır (çünkü $0! = 1$). Bu alt küme, kümenin kendisidir.
- 4. Adım: Toplam Alt Küme Sayısını Bulalım
- "En az 3 eleman bulunan" alt kümelerin toplam sayısı, 3 elemanlı, 4 elemanlı ve 5 elemanlı alt kümelerin sayılarının toplamıdır.
- Toplam = $10 + 5 + 1 = 16$.
Bu durumda, A kümesinin alt kümelerinin 16 tanesinde en az 3 eleman bulunur.
Cevap D seçeneğidir.
