Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde bir kümenin eleman sayısı ile alt küme sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak başlangıçtaki eleman sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Kümenin Eleman Sayısı ve Alt Küme Sayısı İlişkisi:
Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur. Bu temel bilgiyi hatırlayarak problemimizi çözmeye başlayabiliriz.
- 2. Başlangıç Durumu:
Kümemizin başlangıçtaki eleman sayısına $n$ diyelim.
Bu durumda, başlangıçtaki alt küme sayısı $2^n$ olacaktır.
- 3. Eleman Sayısı Değişikliği:
Problemde eleman sayısının 2 artırıldığı belirtiliyor.
Yeni eleman sayısı $n+2$ olur.
- 4. Yeni Alt Küme Sayısı:
Eleman sayısı $n+2$ olduğunda, yeni alt küme sayısı $2^{n+2}$ olacaktır.
- 5. Alt Küme Sayısındaki Artış:
Problemde, eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısının 48 arttığı belirtiliyor. Bu, yeni alt küme sayısının, başlangıçtaki alt küme sayısından 48 fazla olduğu anlamına gelir.
Matematiksel olarak bu durumu şu denklemle ifade edebiliriz:
$2^{n+2} - 2^n = 48$
- 6. Denklemi Çözme:
Şimdi bu denklemi $n$ değerini bulmak için çözelim.
Üslü sayılar kuralını hatırlayalım: $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
Bu kuralı kullanarak $2^{n+2}$ ifadesini $2^n \cdot 2^2$ şeklinde yazabiliriz.
Denklemimiz şu hale gelir:
$2^n \cdot 2^2 - 2^n = 48$
$2^n \cdot 4 - 2^n = 48$
- 7. Ortak Çarpan Parantezine Alma:
Denklemdeki $2^n$ ifadesini ortak çarpan parantezine alalım:
$2^n (4 - 1) = 48$
$2^n (3) = 48$
- 8. $2^n$ Değerini Bulma:
Şimdi her iki tarafı 3'e bölelim:
$2^n = \frac{48}{3}$
$2^n = 16$
- 9. $n$ Değerini Bulma:
16 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazalım:
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
Yani, $2^n = 2^4$
Bu durumda, $n = 4$ olur.
Bu durumda, kümenin başlangıçtaki eleman sayısı 4'tür.
Cevap A seçeneğidir.
