Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kümenin belirli eleman sayısına sahip alt küme sayılarının eşitliği üzerinden kümenin toplam eleman sayısını bulacağız. Kombinasyon bilgisini kullanarak bu problemi adım adım çözelim.
- 1. Adım: Problemi Anlayalım ve Değişken Tanımlayalım
- Bir kümenin eleman sayısını genellikle $n$ ile gösteririz. Bizden bu $n$ değerini bulmamız isteniyor.
- Bir kümenin $k$ elemanlı alt küme sayısını bulmak için kombinasyon formülünü kullanırız. Bu formül $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir ve "$n$'in $k$'li kombinasyonu" olarak okunur.
- 2. Adım: Verilen Bilgiyi Matematiksel İfadeye Çevirelim
- Soruda deniyor ki, kümenin 4 elemanlı alt küme sayısı, 2 elemanlı alt küme sayısına eşittir.
- Bunu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: $\binom{n}{4} = \binom{n}{2}$
- 3. Adım: Kombinasyon Özelliğini Hatırlayalım ve Uygulayalım
- Kombinasyonlarda önemli bir özellik vardır: Eğer $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ ise, bu durumda iki ihtimal vardır:
- Ya $a = b$ (yani alt küme eleman sayıları eşittir)
- Ya da $a + b = n$ (yani alt küme eleman sayılarının toplamı, kümenin toplam eleman sayısına eşittir)
- Bizim denklemimizde $\binom{n}{4} = \binom{n}{2}$ olduğu için, $a=4$ ve $b=2$'dir.
- Gördüğümüz gibi $4 \neq 2$ olduğu için ilk ihtimal geçerli değildir.
- O halde ikinci ihtimal geçerli olmalıdır: $a + b = n$.
- 4. Adım: Denklemi Çözerek $n$ Değerini Bulalım
- $a + b = n$ kuralını kullanarak:
- $4 + 2 = n$
- $n = 6$
- Yani, bu küme 6 elemanlıdır.
- 5. Adım: Sonucumuzu Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı Ama Önemli!)
- Eğer küme 6 elemanlı ise ($n=6$):
- 4 elemanlı alt küme sayısı: $\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$
- 2 elemanlı alt küme sayısı: $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{30}{2} = 15$
- Gördüğümüz gibi, 4 elemanlı alt küme sayısı (15) ile 2 elemanlı alt küme sayısı (15) birbirine eşittir. Bu da bulduğumuz $n=6$ değerinin doğru olduğunu gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
