A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3 elemanı bulunur, 4 elemanı bulunmaz?
A) 8Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün küme problemlerinden çok sık karşılaştığımız, alt küme sayısıyla ilgili bir soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Bize verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır. Bu kümenin toplam $6$ elemanı vardır. Bizden istenen alt kümeler için iki önemli koşul var:
Bir alt kümede $3$ elemanının bulunması zorunluysa, bu elemanı alt kümemize şimdiden dahil edilmiş gibi düşünebiliriz. Yani, $3$ elemanı için bir seçim yapmamıza gerek kalmaz; o zaten alt kümenin içindedir. Bu durumda, $A$ kümesinden $3$ elemanını çıkararak geriye kalan elemanlar üzerinde düşünebiliriz. Kümemiz artık $\{1, 2, 4, 5, 6\}$ gibi düşünülebilir.
Bir alt kümede $4$ elemanının bulunmaması isteniyorsa, bu elemanı alt küme oluştururken kesinlikle kullanmayacağız demektir. Dolayısıyla, $4$ elemanını da eleman havuzumuzdan tamamen çıkarırız. Bu eleman için de bir seçim yapmamıza gerek kalmaz; o zaten alt kümenin dışında kalacaktır.
Başlangıçtaki $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinden:
Geriye kalan elemanlar $B = \{1, 2, 5, 6\}$ kümesini oluşturur. İşte bu elemanlar, alt kümelerimizi oluştururken özgürce seçebileceğimiz elemanlardır.
Yeni kümemiz $B = \{1, 2, 5, 6\}$'nın eleman sayısı $n = 4$'tür. Bir kümenin alt küme sayısı $2^n$ formülüyle bulunur. Bu durumda, $B$ kümesinin alt küme sayısı $2^4$ olacaktır.
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Bu $16$ alt kümenin her birine, başlangıçta zorunlu olarak dahil ettiğimiz $3$ elemanını eklediğimizde, soruda istenen koşulları sağlayan alt kümeleri elde etmiş oluruz.
Yani, $3$ elemanını içeren ve $4$ elemanını içermeyen toplam $16$ tane alt küme vardır.
Cevap B seçeneğidir.
