Permütasyon formülü P(n,r) Test 1

6 farklı renkteki bayrak, 3 direğe her direkte bir bayrak olacak şekilde kaç farklı şekilde asılabilir?

A) 20
B) 120
C) 216
D) 720

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, farklı nesneleri belirli yerlere sıralama veya yerleştirme ile ilgili, yani bir permütasyon sorusu. Adım adım nasıl çözdüğümüze bakalım:

• Adım 1: Problemi Anlayalım

  Elimizde 6 farklı renkte bayrak var ve bunları 3 farklı direğe asacağız. Her direğe sadece bir bayrak asılacak. Önemli olan nokta, hangi bayrağın hangi direğe asıldığı ve bu sıralamanın farklı sonuçlar doğurmasıdır. Örneğin, kırmızı bayrağın birinci direğe asılması ile mavi bayrağın birinci direğe asılması farklı durumlar oluşturur. Bu da bize sıralamanın önemli olduğunu, yani bir permütasyon problemi olduğunu gösterir.

• Adım 2: Birinci Direk İçin Seçenekleri Belirleyelim

  İlk direğe asmak için kaç farklı bayrak seçeneğimiz var? Toplam 6 farklı bayrağımız olduğu için, birinci direk için 6 farklı seçeneğimiz bulunur.

• Adım 3: İkinci Direk İçin Seçenekleri Belirleyelim

  Birinci direğe bir bayrak astıktan sonra geriye kaç bayrak kalır? 6 bayraktan 1'ini kullandığımız için geriye 5 bayrak kalır. Bu durumda, ikinci direğe asmak için 5 farklı seçeneğimiz vardır.

• Adım 4: Üçüncü Direk İçin Seçenekleri Belirleyelim

  İlk iki direğe birer bayrak astıktan sonra geriye kaç bayrak kalır? 6 bayraktan 2'sini kullandığımız için geriye 4 bayrak kalır. Bu durumda, üçüncü direğe asmak için 4 farklı seçeneğimiz vardır.

• Adım 5: Toplam Farklı Asılma Şekillerini Hesaplayalım

  Her direk için sahip olduğumuz seçenekleri çarparak toplam farklı asılma şekillerini buluruz. Çünkü her bir direk seçimi, diğer direk seçimlerinden bağımsız olarak gerçekleşir ve tüm olasılıkları bir araya getiririz.

  Toplam Asılma Şekli = (1. Direk Seçeneği) $\times$ (2. Direk Seçeneği) $\times$ (3. Direk Seçeneği)

  Toplam Asılma Şekli = $6 \times 5 \times 4$

  Toplam Asılma Şekli = $30 \times 4$

  Toplam Asılma Şekli = $120$ farklı şekilde asılabilir.

• Adım 6: Permütasyon Formülü ile Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı Ek Bilgi)

  Bu tür sıralama problemlerini çözmek için permütasyon formülünü de kullanabiliriz. $n$ farklı nesneden $k$ tanesini sıralamak için kullanılan formül $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ şeklindedir.

  Burada $n=6$ (toplam bayrak sayısı) ve $k=3$ (direk sayısı, yani seçilecek ve sıralanacak bayrak sayısı) olduğu için:

  $P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

  Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık!

Cevap B seçeneğidir.