Bu tür ölçek problemlerini çözerken, harita ölçeğinin uzunluklar için geçerli olduğunu, alanlar için ise ölçeğin karesinin kullanılması gerektiğini unutmamalıyız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Ölçek ve Alan İlişkisini Anlayalım
- Harita ölçeği, gerçek uzunlukların haritada ne kadar küçültüldüğünü gösterir. Örneğin, $1/N$ ölçekli bir haritada, gerçekte $N$ birim olan bir uzunluk haritada $1$ birim olarak gösterilir.
- Ancak alanlar için durum farklıdır. Bir alan, iki boyutlu olduğu için, ölçeğin karesiyle orantılı olarak değişir. Yani, eğer uzunluk ölçeği $1/N$ ise, alan ölçeği $1/N^2$ olur.
- Bu durumda, iki farklı haritadaki aynı nesnenin alanları arasındaki ilişkiyi şu formülle kurabiliriz: $( \text{Harita 1'deki Alan} ) / ( \text{Harita 2'deki Alan} ) = ( \text{Harita 2'nin Ölçek Paydası} )^2 / ( \text{Harita 1'in Ölçek Paydası} )^2$.
- 2. Adım: Verilen Bilgileri Belirleyelim
- İlk harita (Harita 1): Ölçek $1/300.000$, Ölçek paydası ($N_1$) $300.000$, Gölün haritadaki alanı ($A_1$) $5 \text{ cm}^2$.
- İkinci harita (Harita 2): Ölçek $1/150.000$, Ölçek paydası ($N_2$) $150.000$, Gölün haritadaki alanı ($A_2$) bilinmiyor.
- 3. Adım: Alanlar Arasındaki Oranı Kurma
- Yukarıda belirttiğimiz formülü kullanalım: $A_1 / A_2 = (N_2)^2 / (N_1)^2$.
- Değerleri yerine yazalım: $5 \text{ cm}^2 / A_2 = (150.000)^2 / (300.000)^2$.
- Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz: $5 / A_2 = (150.000 / 300.000)^2$.
- Parantez içindeki oranı hesaplayalım: $150.000 / 300.000 = 1/2$.
- Şimdi bu oranı kare alalım: $(1/2)^2 = 1/4$.
- 4. Adım: İkinci Haritadaki Alanı Hesaplama
- Denklemimiz şu hale geldi: $5 / A_2 = 1/4$.
- İçler dışlar çarpımı yaparak $A_2$ değerini bulalım: $1 \times A_2 = 5 \times 4$.
- $A_2 = 20 \text{ cm}^2$.
Bu durumda, 1/150.000 ölçekli haritada gölün alanı $20 \text{ cm}^2$ olarak gösterilir.
Cevap C seçeneğidir.
