Matematik dersinde öğrencilerden "Eğer x > 5 ise x² > 25" önermesinin karşıtını yazmaları isteniyor. Hangisi doğru karşıt önermedir?
A) Eğer x² > 25 ise x > 5
B) Eğer x² ≤ 25 ise x ≤ 5
C) Eğer x ≤ 5 ise x² ≤ 25
D) Eğer x² < 25 ise x < 5
Merhaba sevgili öğrenciler!
Matematiksel mantıkta, bir koşullu önermenin "karşıtını" bulmak, belirli kurallara göre yapılır. Gelin bu kuralları hatırlayalım ve sorumuzu adım adım çözelim.
- Koşullu Önerme (İse Önermesi): "Eğer p ise q" şeklindeki önermelere koşullu önerme denir ve $p \implies q$ şeklinde gösterilir. Burada $p$, hipotez (varsayım); $q$ ise hüküm (sonuç) olarak adlandırılır.
- Karşıt Önerme: Bir koşullu önermenin karşıtı, hipotez ile hükmün yer değiştirmesiyle elde edilir. Yani, $p \implies q$ önermesinin karşıtı $q \implies p$ şeklindedir.
Şimdi sorumuzdaki önermeyi inceleyelim:
- Verilen önerme: "Eğer $x > 5$ ise $x^2 > 25$"
- Bu önermede, hipotez ($p$) şudur: "$x > 5$"
- Hüküm ($q$) ise şudur: "$x^2 > 25$"
Karşıt önermeyi elde etmek için hipotez ($p$) ile hükmün ($q$) yerini değiştirmemiz gerekiyor. Yani $q \implies p$ formunu oluşturacağız.
- Buna göre, "$x^2 > 25$" hükmü yeni hipotezimiz olacak.
- "$x > 5$" hipotezi ise yeni hükmümüz olacak.
Dolayısıyla, verilen "Eğer $x > 5$ ise $x^2 > 25$" önermesinin karşıtı:
"Eğer $x^2 > 25$ ise $x > 5$"
Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) Eğer $x^2 > 25$ ise $x > 5$
- B) Eğer $x^2 \leq 25$ ise $x \leq 5$ (Bu, önermenin tersidir.)
- C) Eğer $x \leq 5$ ise $x^2 \leq 25$ (Bu, önermenin karşıt tersidir.)
- D) Eğer $x^2 < 25$ ise $x < 5$ (Bu, doğru bir dönüşüm değildir.)
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz karşıt önerme A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
