Özkütleleri 0,6 g/cm³ ve 1,4 g/cm³ olan iki sıvı karıştırıldığında karışımın özkütlesi 1,0 g/cm³ oluyor. Buna göre sıvılar hangi hacim oranında karıştırılmıştır?
A) 1:1
B) 2:1
C) 1:2
D) 3:2
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, farklı özkütlelere sahip iki sıvının karıştırılmasıyla oluşan yeni karışımın özkütlesi verilmiş. Bizden istenen ise bu sıvıların hangi hacim oranında karıştırıldığını bulmak. Haydi adım adım bu problemi çözelim!
- 1. Problemi Anlayalım ve Verilenleri Not Edelim:
- Birinci sıvının özkütlesi: $d_1 = 0.6 \text{ g/cm}^3$
- İkinci sıvının özkütlesi: $d_2 = 1.4 \text{ g/cm}^3$
- Karışımın özkütlesi: $d_{karisim} = 1.0 \text{ g/cm}^3$
- Bizden istenen: Sıvıların hacim oranı ($V_1 : V_2$)
- 2. Karışım Özkütlesi Formülünü Hatırlayalım:
- Bir karışımın özkütlesi, karışımı oluşturan maddelerin toplam kütlesinin toplam hacmine oranıdır. Matematiksel olarak şöyle ifade edilir:
$d_{karisim} = \frac{m_{toplam}}{V_{toplam}}$
- Burada $m_{toplam}$ toplam kütle ($m_1 + m_2$) ve $V_{toplam}$ toplam hacimdir ($V_1 + V_2$).
- Her bir sıvının kütlesini, özkütlesi ve hacmi cinsinden yazabiliriz: $m = d \times V$. Yani $m_1 = d_1 V_1$ ve $m_2 = d_2 V_2$.
- 3. Formülü Uygulayalım ve Denklemi Kuralım:
- Yukarıdaki bilgileri karışım özkütlesi formülünde yerine yazarsak:
$d_{karisim} = \frac{d_1 V_1 + d_2 V_2}{V_1 + V_2}$
- Şimdi verilen değerleri bu denkleme yerleştirelim:
$1.0 = \frac{0.6 V_1 + 1.4 V_2}{V_1 + V_2}$
- 4. Denklemi Çözelim:
- Denklemin her iki tarafını $(V_1 + V_2)$ ile çarpalım:
$1.0 \times (V_1 + V_2) = 0.6 V_1 + 1.4 V_2$
- Parantezi açalım:
$V_1 + V_2 = 0.6 V_1 + 1.4 V_2$
- Şimdi $V_1$ terimlerini denklemin bir tarafına, $V_2$ terimlerini ise diğer tarafına toplayalım:
$V_1 - 0.6 V_1 = 1.4 V_2 - V_2$
- İşlemleri yapalım:
$0.4 V_1 = 0.4 V_2$
- Her iki tarafı $0.4$ ile bölersek:
$V_1 = V_2$
- 5. Hacim Oranını Bulalım:
- $V_1 = V_2$ eşitliği, birinci sıvının hacmi ile ikinci sıvının hacminin birbirine eşit olduğu anlamına gelir.
- Bu durumda hacim oranı $V_1 : V_2 = 1 : 1$'dir.
- 6. Alternatif Yöntem (Terazi Yöntemi):
- Bu tür karışım problemlerinde "terazi yöntemi" veya "alligation method" adı verilen pratik bir yöntem de kullanılabilir. Bu yöntem, karışımın özkütlesinin, karıştırılan sıvıların özkütleleri arasında bir denge noktası olduğunu varsayar.
- Karışım özkütlesi ($d_{karisim} = 1.0 \text{ g/cm}^3$), birinci sıvının özkütlesi ($d_1 = 0.6 \text{ g/cm}^3$) ile ikinci sıvının özkütlesi ($d_2 = 1.4 \text{ g/cm}^3$) arasında yer alır.
- Karışım özkütlesinin, her bir sıvının özkütlesine olan farklarını bulalım:
- $|d_{karisim} - d_1| = |1.0 - 0.6| = 0.4$
- $|d_2 - d_{karisim}| = |1.4 - 1.0| = 0.4$
- Sıvıların hacim oranları, bu farklarla ters orantılıdır:
$V_1 : V_2 = |d_2 - d_{karisim}| : |d_{karisim} - d_1|$
$V_1 : V_2 = 0.4 : 0.4$
$V_1 : V_2 = 1 : 1$
Her iki yöntem de aynı sonuca ulaştı. Bu da çözümümüzün doğruluğunu teyit eder. Gördüğünüz gibi, özkütle problemleri hem formülle hem de pratik yöntemlerle kolayca çözülebilir!
Cevap A seçeneğidir.
