Düzlem nedir Test 1

Düzlemde iki farklı noktadan geçen doğru sayısı 1'dir. Buna göre, aynı düzlem üzerinde bulunan ve herhangi üçü doğrusal olmayan 5 farklı noktadan en çok kaç farklı doğru geçer?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11

Bu soruyu çözmek için, düzlemde iki noktadan bir doğru geçtiği bilgisini ve kombinasyon kavramını kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Soruyu Anlayalım: Bize verilen bilgi, iki farklı noktanın bir ve yalnızca bir doğru oluşturduğudur. Soru, aynı düzlemde bulunan ve herhangi üçü doğrusal olmayan 5 farklı noktadan en çok kaç farklı doğru geçebileceğini soruyor. "Herhangi üçü doğrusal olmayan" ifadesi çok önemlidir; bu, seçtiğimiz herhangi iki noktanın her zaman yeni ve benzersiz bir doğru oluşturacağı anlamına gelir, çünkü üçüncü bir nokta aynı doğru üzerinde yer almaz.
• Doğru Oluşturma Prensibi: Bir doğru oluşturmak için her zaman iki farklı noktaya ihtiyacımız vardır. Elimizde 5 farklı nokta var.
• Matematiksel Yaklaşım: Elimizdeki 5 noktadan herhangi ikisini seçerek bir doğru oluşturacağız. Noktaları seçme sıramız önemli değildir (örneğin, A noktasını sonra B noktasını seçmekle, B noktasını sonra A noktasını seçmek aynı doğruyu verir). Bu tür durumlarda, yani bir kümeden belirli sayıda elemanı sıra gözetmeksizin seçtiğimizde, kombinasyon formülünü kullanırız.
• Kombinasyon Formülü: $n$ farklı eleman arasından $k$ elemanı seçme kombinasyonu $C(n, k)$ veya $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir ve şu formülle hesaplanır: $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ Burada $n$ toplam eleman sayısını, $k$ ise seçilecek eleman sayısını ifade eder. $n!$ (n faktöriyel) ise $n \times (n-1) \times \dots \times 1$ anlamına gelir.
• Değerleri Yerine Koyalım: Bizim durumumuzda, toplam nokta sayısı $n = 5$'tir ve bir doğru oluşturmak için seçmemiz gereken nokta sayısı $k = 2$'dir. Formülü uygulayalım: $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!}$ $C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!}$
• Hesaplamayı Yapalım: Önce faktöriyelleri hesaplayalım: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ $2! = 2 \times 1 = 2$ $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: $C(5, 2) = \frac{120}{2 \times 6}$ $C(5, 2) = \frac{120}{12}$ $C(5, 2) = 10$
• Sonuç: Buna göre, aynı düzlem üzerinde bulunan ve herhangi üçü doğrusal olmayan 5 farklı noktadan en çok 10 farklı doğru geçer.

Cevap C seçeneğidir.