EBOB EKOK LGS soruları Test 1

Ali, bilyelerini 8'li, 12'li ve 15'li gruplara ayırdığında her seferinde 3 bilyesi artıyor. Ali'nin bilye sayısı 500'den az olduğuna göre, en fazla kaç bilyesi vardır?

A) 243
B) 363
C) 483
D) 495

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, bir sayının farklı sayılara bölündüğünde aynı kalanı vermesi durumunu ve bu sayının belirli bir üst sınırdan küçük olmasını içeren bir sorudur. Bu tür problemleri çözmek için En Küçük Ortak Kat (EKOK) kavramını kullanırız. Şimdi adım adım çözelim:

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Temel Fikri Belirleyelim

  Ali'nin bilye sayısı, 8'li, 12'li ve 15'li gruplara ayrıldığında her seferinde 3 bilye artıyor. Bu şu anlama gelir:

  • Ali'nin bilye sayısından 3 çıkarırsak, geriye kalan sayı hem 8'e, hem 12'ye hem de 15'e tam bölünebilir olmalıdır.
  • Yani, Ali'nin bilye sayısının 3 eksiği, 8, 12 ve 15 sayılarının ortak bir katı olmalıdır.
  • Bu ortak katların en küçüğünü (En Küçük Ortak Kat - EKOK) bularak işe başlayacağız.
• Adım 2: 8, 12 ve 15 Sayılarının EKOK'unu Bulalım

  EKOK'u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

  • $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
  • $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$
  • $15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1$

  EKOK, bu sayıların asal çarpanlarının en yüksek üslerini alarak çarpılmasıyla bulunur:

  • $EKOK(8, 12, 15) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.

  Bu durumda, Ali'nin bilye sayısından 3 çıkarıldığında elde edilen sayı 120'nin bir katı olmalıdır. Yani, Ali'nin bilye sayısı ($B$) için şu denklemi yazabiliriz:

  • $B - 3 = 120k$ (Burada $k$ pozitif bir tam sayıdır.)
  • $B = 120k + 3$
• Adım 3: Bilye Sayısının Olası Değerlerini ve Üst Sınırı Belirleyelim

  Soruda Ali'nin bilye sayısının 500'den az olduğu belirtiliyor. Yani $B < 500$.

  Şimdi $B = 120k + 3$ ifadesini bu eşitsizlikte yerine koyalım:

  • $120k + 3 < 500$
  • $120k < 500 - 3$
  • $120k < 497$
  • $k < \frac{497}{120}$
  • $k < 4.14...$

  $k$ bir tam sayı olduğu için, $k$ için alabileceğimiz en büyük değer 4'tür. Olası $k$ değerleri 1, 2, 3 ve 4'tür.

• Adım 4: En Fazla Bilye Sayısını Bulalım

  $k$ değerlerini kullanarak Ali'nin bilye sayısının olası değerlerini hesaplayalım:

  • Eğer $k=1$ ise, $B = 120 \times 1 + 3 = 123$
  • Eğer $k=2$ ise, $B = 120 \times 2 + 3 = 243$
  • Eğer $k=3$ ise, $B = 120 \times 3 + 3 = 363$
  • Eğer $k=4$ ise, $B = 120 \times 4 + 3 = 483$

  Bu değerlerin hepsi 500'den küçüktür. Soruda Ali'nin bilye sayısının en fazla kaç olabileceği sorulduğu için, bulduğumuz değerler arasındaki en büyük sayıyı seçmeliyiz.

  En büyük değer 483'tür.

Cevap B seçeneğidir.