Sevgili öğrenciler, bu soruda bize temel bir trigonometrik özdeşlik olan $\sin^2x + \cos^2x = 1$ verilmiş ve bizden $\sin^4x + \cos^4x$ ifadesinin neye eşit olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, bize verilen $\sin^4x + \cos^4x$ ifadesini daha tanıdık bir biçimde yazalım. $\sin^4x$ ifadesini $(\sin^2x)^2$ olarak, $\cos^4x$ ifadesini ise $(\cos^2x)^2$ olarak düşünebiliriz.
- Bu durumda, ifademiz $(\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2$ şeklini alır.
- Şimdi bu ifadeyi cebirdeki bir özdeşlikle ilişkilendirelim. Hatırlayacağınız üzere, $a^2 + b^2$ şeklindeki bir ifadeyi $(a+b)^2 - 2ab$ olarak yazabiliriz. Bu özdeşlik, iki terimin kareleri toplamını, toplamlarının karesi ve çarpımlarının iki katı cinsinden ifade etmemizi sağlar.
- Bu özdeşliği, $a = \sin^2x$ ve $b = \cos^2x$ kabul ederek uygulayalım.
- Böylece, $(\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2 = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2(\sin^2x)(\cos^2x)$ olur.
- Şimdi, bize sorunun başında verilen temel trigonometrik özdeşliği kullanalım: $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Bu, trigonometrideki en önemli ve en sık kullanılan özdeşliklerden biridir.
- Bu değeri yukarıdaki denklemde yerine koyarsak: $(1)^2 - 2\sin^2x\cos^2x$ elde ederiz.
- Son olarak, ifadeyi sadeleştirelim: $1 - 2\sin^2x\cos^2x$.
- Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
