Belirsiz integral nedir Test 1

Bir ekonomist, marjinal maliyet fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonunu bulmak istiyor. Marjinal maliyet $MC(x) = 0.5x + 10$ ve sabit maliyet 100 TL olduğuna göre, toplam maliyet fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $C(x) = 0.25x^2 + 10x + 100$
B) $C(x) = 0.5x^2 + 10x + 100$
C) $C(x) = 0.25x^2 + 10x$
D) $C(x) = 0.5x + 110$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, marjinal maliyet fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonunu bulmamız isteniyor. Ekonomi ve matematik arasındaki bu bağlantıyı adım adım inceleyelim.

• 1. Marjinal Maliyet ve Toplam Maliyet İlişkisini Anlayalım:

  Ekonomide, marjinal maliyet ($MC(x)$), bir birim daha fazla ürün üretmenin getirdiği ek maliyettir. Matematiksel olarak, toplam maliyet fonksiyonunun ($C(x)$) türevi, marjinal maliyet fonksiyonunu verir. Yani, $C'(x) = MC(x)$'tir.

  Bizim durumumuzda, marjinal maliyet fonksiyonu $MC(x) = 0.5x + 10$ olarak verilmiştir. Toplam maliyet fonksiyonunu bulmak için, marjinal maliyet fonksiyonunu entegre etmemiz gerekir. Yani, $C(x) = \int MC(x) dx$ işlemini yapacağız.

• 2. Marjinal Maliyet Fonksiyonunu Entegre Edelim:

  Şimdi $MC(x) = 0.5x + 10$ fonksiyonunu $x$'e göre entegre edelim:

  $C(x) = \int (0.5x + 10) dx$

  İntegral kurallarını hatırlarsak, $\int ax^n dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + K$ ve $\int a dx = ax + K$ şeklindedir. Burada $K$ entegrasyon sabitidir.

  Uygulayalım:

  $C(x) = 0.5 \int x^1 dx + \int 10 dx$

  $C(x) = 0.5 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + 10x + K$

  $C(x) = 0.5 \left( \frac{x^2}{2} \right) + 10x + K$

  $C(x) = 0.25x^2 + 10x + K$

• 3. Sabit Maliyeti Kullanarak Entegrasyon Sabitini Bulalım:

  Toplam maliyet fonksiyonundaki $K$ sabiti, sabit maliyeti temsil eder. Sabit maliyet, üretim miktarı sıfır olduğunda ($x=0$) bile katlanılan maliyettir. Yani, $C(0) = K$ olmalıdır.

  Soruda sabit maliyet $100$ TL olarak verilmiştir. Bu durumda, entegrasyon sabiti $K = 100$ TL'dir.

• 4. Toplam Maliyet Fonksiyonunu Oluşturalım:

  Bulduğumuz $K$ değerini entegre ettiğimiz fonksiyonda yerine koyalım:

  $C(x) = 0.25x^2 + 10x + 100$

• 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Elde ettiğimiz toplam maliyet fonksiyonunu verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bizim bulduğumuz fonksiyonla aynı olduğunu görürüz.

  • A) $C(x) = 0.25x^2 + 10x + 100$
  • B) $C(x) = 0.5x^2 + 10x + 100$
  • C) $C(x) = 0.25x^2 + 10x$
  • D) $C(x) = 0.5x + 110$

Cevap A seçeneğidir.