Bir biyolog, bakteri popülasyonunun değişim hızını modellemektedir. Popülasyonun büyüme hızı $P'(t) = 2e^{0.1t}$ olarak verildiğine göre, popülasyon fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) $P(t) = 20e^{0.1t} + C$
B) $P(t) = 2e^{0.1t} + C$
C) $P(t) = 0.2e^{0.1t} + C$
D) $P(t) = e^{0.1t} + C$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir bakteri popülasyonunun değişim hızı (yani türevi) verilmiş ve bizden popülasyon fonksiyonunun kendisini bulmamız isteniyor. Bir fonksiyonun türevi verildiğinde, o fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma işlemi yaparız.
- Adım 1: Problemi Anlama ve İntegral Alma İhtiyacını Belirleme
- Bize popülasyonun büyüme hızı $P'(t) = 2e^{0.1t}$ olarak verilmiş. Bu ifade, $P(t)$ fonksiyonunun zamana göre türevidir.
- Bizden istenen ise popülasyon fonksiyonu $P(t)$'nin kendisidir.
- Bir fonksiyonun türevi verildiğinde, o fonksiyonun kendisini bulmak için türevin tersi olan integral alma işlemini uygulamamız gerekir. Yani, $P(t) = \int P'(t) dt$ işlemini yapacağız.
- Adım 2: Üstel Fonksiyonların İntegral Kuralını Hatırlama
- Üstel fonksiyonların integrali için genel bir kural vardır: $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$.
- Burada $a$ bir sabittir ve $C$ ise integral sabitidir (belirsiz integral aldığımız için her zaman bir sabit ekleriz).
- Adım 3: Verilen Fonksiyona İntegral Kuralını Uygulama
- Bizim fonksiyonumuz $P'(t) = 2e^{0.1t}$.
- $P(t)$'yi bulmak için bu ifadenin integralini almalıyız: $P(t) = \int 2e^{0.1t} dt$.
- İntegral alırken sabit çarpanları integral dışına çıkarabiliriz. Bu durumda $2$ sabiti dışarı çıkar: $P(t) = 2 \int e^{0.1t} dt$.
- Şimdi $\int e^{0.1t} dt$ kısmını hesaplayalım. Buradaki $a$ değeri $0.1$'dir.
- İntegral kuralını uygulayarak: $\int e^{0.1t} dt = \frac{1}{0.1}e^{0.1t} + C_1$ (Burada $C_1$ geçici bir integral sabitidir).
- $\frac{1}{0.1}$ ifadesi, $1$ bölü $0.1$ anlamına gelir. $0.1$ ondalık sayısı $\frac{1}{10}$ olarak yazılabilir. Yani $\frac{1}{0.1} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 1 \times 10 = 10$.
- Dolayısıyla, $\int e^{0.1t} dt = 10e^{0.1t} + C_1$.
- Adım 4: Sonucu Birleştirme ve Popülasyon Fonksiyonunu Bulma
- Bulduğumuz $\int e^{0.1t} dt = 10e^{0.1t} + C_1$ ifadesini $P(t) = 2 \int e^{0.1t} dt$ denklemine geri koyalım:
- $P(t) = 2 \cdot (10e^{0.1t} + C_1)$
- Parantezi dağıttığımızda: $P(t) = 2 \times 10e^{0.1t} + 2 \times C_1$
- $P(t) = 20e^{0.1t} + 2C_1$.
- $2C_1$ de bir sabit olduğu için, bunu tek bir genel integral sabiti $C$ olarak ifade edebiliriz.
- Böylece popülasyon fonksiyonu $P(t) = 20e^{0.1t} + C$ olarak bulunur.
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Bulduğumuz $P(t) = 20e^{0.1t} + C$ ifadesini verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $P(t) = 20e^{0.1t} + C$
- B) $P(t) = 2e^{0.1t} + C$
- C) $P(t) = 0.2e^{0.1t} + C$
- D) $P(t) = e^{0.1t} + C$
- Görüldüğü gibi, A seçeneği bizim bulduğumuz sonuçla tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
