2⁴ × 5² şeklinde asal çarpanlarına ayrılan bir sayının pozitif bölenlerinin toplamını hesaplamak isteyen bir öğrenci hangi işlemi yapmalıdır?
A) (2⁵ - 1)/(2 - 1) × (5³ - 1)/(5 - 1)
B) (2⁴ - 1)/(2 - 1) × (5² - 1)/(5 - 1)
C) (2⁴ + 1) × (5² + 1)
D) 2⁴ × 5²
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Unutmayın, matematik öğrenmek keyifli bir yolculuktur!
Adım 1: Pozitif Bölen Sayısı ve Toplamı Arasındaki İlişki
- Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali verildiğinde, pozitif bölenlerinin toplamını bulmak için özel bir formülümüz var.
- Eğer sayımız pa × qb şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa (burada p ve q asal sayılar, a ve b ise pozitif tam sayılar), bu sayının pozitif bölenlerinin toplamı şu şekilde bulunur:
- (1 + p + p² + ... + pa) × (1 + q + q² + ... + qb)
Adım 2: Formülü Uygulayalım
- Soruda verilen sayı 2⁴ × 5². Bu durumda p = 2, a = 4, q = 5 ve b = 2 oluyor.
- Formülü uyguladığımızda, pozitif bölenlerin toplamı: (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) × (1 + 5 + 5²) şeklinde olacaktır.
Adım 3: Geometrik Dizi Toplamı
- Parantez içindeki ifadeler aslında birer geometrik dizidir. Geometrik dizi toplamı formülünü hatırlayalım:
- 1 + r + r² + ... + rn = (rn+1 - 1) / (r - 1)
Adım 4: Geometrik Dizi Formülünü Uygulayalım
- İlk parantez için (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴): r = 2 ve n = 4. O halde toplam (24+1 - 1) / (2 - 1) = (2⁵ - 1) / (2 - 1)
- İkinci parantez için (1 + 5 + 5²): r = 5 ve n = 2. O halde toplam (52+1 - 1) / (5 - 1) = (5³ - 1) / (5 - 1)
Adım 5: Sonuca Ulaşalım
- Pozitif bölenlerin toplamı: (2⁵ - 1) / (2 - 1) × (5³ - 1) / (5 - 1)
Cevap A seçeneğidir.
