İki eğri arasında kalan alan nasıl bulunur Test 1

Bir mimar, y = 4 - x² parabolü ile y = x + 2 doğrusu arasında kalan bölgeyi havuz olarak tasarlıyor. Bu havuzun alanı kaç birimkaredir?

A) 9/2
B) 11/2
C) 13/2
D) 15/2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir mimarın havuz tasarımıyla ilgili bu problem, iki fonksiyon arasında kalan alanı bulma konusudur. Bu tür problemleri çözmek için belirli integral kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Kesim Noktalarını Bulma:

  Öncelikle, parabol ($y = 4 - x^2$) ile doğru ($y = x + 2$) nerede kesişiyor, yani hangi $x$ değerlerinde $y$ değerleri eşit oluyor, bunu bulmalıyız. Bu noktalar, integralimizin sınırlarını belirleyecek.

  $4 - x^2 = x + 2$

  Denklemi düzenleyelim ve tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

  $x^2 + x - 2 = 0$

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:

  $(x + 2)(x - 1) = 0$

  Buradan kesim noktalarının $x$ koordinatları $x_1 = -2$ ve $x_2 = 1$ olarak bulunur.

• 2. Hangi Fonksiyonun Üstte Olduğunu Belirleme:

  İki kesim noktası ($x = -2$ ve $x = 1$) arasında, hangi fonksiyonun diğerinden daha büyük $y$ değerleri aldığını belirlememiz gerekiyor. Bu aralıktan rastgele bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = 0$:

  • Parabol için $y = 4 - (0)^2 = 4$
  • Doğru için $y = 0 + 2 = 2$

  $4 > 2$ olduğu için, $x = -2$ ile $x = 1$ aralığında parabol ($y = 4 - x^2$) doğrunun ($y = x + 2$) üzerinde kalmaktadır.

• 3. Alan İçin İntegrali Kurma:

  İki fonksiyon arasında kalan alanı bulmak için, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkarıp, kesim noktaları arasında belirli integral alırız:

  Alan $= \int_{a}^{b} (f_{üst}(x) - f_{alt}(x)) dx$

  Bizim durumumuzda $f_{üst}(x) = 4 - x^2$ ve $f_{alt}(x) = x + 2$, sınırlarımız ise $a = -2$ ve $b = 1$.

  Alan $= \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) dx$

  İntegral içindeki ifadeyi düzenleyelim:

  Alan $= \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) dx$

  Alan $= \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$

• 4. İntegrali Hesaplama:

  Şimdi bu belirli integrali hesaplayalım:

  $\int (-x^2 - x + 2) dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x$

  Şimdi üst ve alt sınırları yerine koyarak farkı alalım:

  Alan $= \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}$

  Alan $= \left( -\frac{(1)^3}{3} - \frac{(1)^2}{2} + 2(1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$

  Alan $= \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right)$

  Alan $= \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$

  Parantez içindeki ifadeleri hesaplayalım:

  Birinci parantez: $-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{7}{6}$

  İkinci parantez: $\frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{10}{3}$

  Şimdi bu değerleri yerine koyalım:

  Alan $= \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right)$

  Alan $= \frac{7}{6} + \frac{10}{3}$

  Paydaları eşitleyelim:

  Alan $= \frac{7}{6} + \frac{20}{6}$

  Alan $= \frac{27}{6}$

  Bu kesri sadeleştirelim (her iki tarafı $3$'e bölelim):

  Alan $= \frac{9}{2}$ birimkare

Bu havuzun alanı $\frac{9}{2}$ birimkaredir.

Cevap A seçeneğidir.