Sonlu küme ve sonsuz küme nedir Test 1

B = {x | x ∈ Z ve |x| < 10} kümesi için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A) Sonsuz kümedir çünkü tam sayılar sonsuzdur
B) Sonlu kümedir ve 19 elemanlıdır
C) Sonlu kümedir ve 21 elemanlıdır
D) Sonsuz kümedir çünkü negatif sayılar da vardır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle küme kavramları ve mutlak değer eşitsizlikleri ile ilgili bir soruyu adım adım çözeceğiz. Amacımız, soruyu tam olarak anlamak ve doğru cevaba ulaşmak için gerekli tüm adımları net bir şekilde öğrenmek.

• Adım 1: Küme Tanımını Anlayalım

• Bize verilen küme $B = \{x | x \in Z \text{ ve } |x| < 10\}$ şeklindedir. Bu ifadeyi dikkatlice okuyalım:

  • "x öyle sayılardan oluşur ki..." anlamına gelir.
  • "$x \in Z$": Bu kısım, $x$'in bir tam sayı olması gerektiğini belirtir. Tam sayılar kümesi $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir. Yani kesirli veya ondalıklı sayılar bu kümede yer alamaz.
  • "$|x| < 10$": Bu kısım, $x$'in mutlak değerinin 10'dan küçük olması gerektiğini belirtir. Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfırdır.
• Adım 2: Mutlak Değer Koşulunu Çözümleyelim

• Mutlak değer eşitsizliği "$|x| < 10$" ne anlama gelir? Bir sayının mutlak değeri 10'dan küçükse, o sayı $-10$ ile $10$ arasında yer alır. Yani:

  $|x| < 10 \implies -10 < x < 10$

  Bu, $x$'in $-10$'dan büyük ve $10$'dan küçük olması gerektiği anlamına gelir.

• Adım 3: Koşulları Sağlayan Tam Sayıları Belirleyelim

• Şimdi, hem tam sayı olan hem de $-10$ ile $10$ arasında olan sayıları listeleyelim. Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır:

  $-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

  Dikkat edin, $-10$ ve $10$ bu aralığa dahil değildir çünkü eşitsizlikte "küçük" ($<$) işareti kullanılmıştır, "küçük veya eşit" ($\le$) değil.

• Adım 4: Kümenin Eleman Sayısını Bulalım

• Belirlediğimiz bu sayıları sayalım:

  • Negatif tam sayılar: $-9, -8, ..., -1$ (Toplam 9 tane)
  • Sıfır: $0$ (Toplam 1 tane)
  • Pozitif tam sayılar: $1, 2, ..., 9$ (Toplam 9 tane)

  Toplam eleman sayısı: $9 \text{ (negatif)} + 1 \text{ (sıfır)} + 9 \text{ (pozitif)} = 19$ elemandır.

• Adım 5: Kümenin Sonlu mu Sonsuz mu Olduğuna Karar Verelim

• Bir kümenin elemanlarını sayabiliyorsak ve bu sayı belirli bir doğal sayı ise (bizim durumumuzda 19), o küme sonlu bir kümedir. Eğer elemanları saymak mümkün olmasaydı (örneğin tüm tam sayılar kümesi gibi), o zaman sonsuz bir küme olurdu.

• Adım 6: Seçenekleri Değerlendirelim
• • A) Sonsuz kümedir çünkü tam sayılar sonsuzdur: Yanlış. Küme, mutlak değer koşulu ile sınırlanmıştır.
  • B) Sonlu kümedir ve 19 elemanlıdır: Doğru. Yaptığımız analizle tamamen uyuşmaktadır.
  • C) Sonlu kümedir ve 21 elemanlıdır: Yanlış. Eleman sayısı 19'dur. (Muhtemelen $-10$ ve $10$'u da dahil eden bir yanılgı olabilir, ki bu durumda $9+1+9+2=21$ olurdu, ancak eşitsizlik $<10$ olduğu için bu sayılar dahil değildir.)
  • D) Sonsuz kümedir çünkü negatif sayılar da vardır: Yanlış. Negatif sayılar olsa bile, mutlak değer koşulu kümenin elemanlarını belirli bir aralıkta sınırlar.

Bu adımları takip ettiğimizde, $B$ kümesinin sonlu olduğunu ve 19 elemanı olduğunu açıkça görmüş olduk.

Cevap B seçeneğidir.