arcsin(1/2) + arccos(1/2) ifadesinin değeri kaçtır?
A) π/6Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için ters trigonometrik fonksiyonların (arksinüs ve arkkosinüs) ne anlama geldiğini hatırlayalım ve adım adım ilerleyelim.
Ters sinüs fonksiyonu, $\arcsin(x)$ veya $\sin^{-1}(x)$ olarak gösterilir. Bu fonksiyon, sinüsü $x$ olan açıyı verir. $\arcsin(x)$'in değeri, genellikle $[-\pi/2, \pi/2]$ aralığındaki bir açıdır.
Ters kosinüs fonksiyonu, $\arccos(x)$ veya $\cos^{-1}(x)$ olarak gösterilir. Bu fonksiyon, kosinüsü $x$ olan açıyı verir. $\arccos(x)$'in değeri, genellikle $[0, \pi]$ aralığındaki bir açıdır.
Hangi açının sinüsü $1/2$'dir? Birim çemberi veya özel üçgenleri düşündüğümüzde, $30^\circ$ (veya radyan cinsinden $\pi/6$) açısının sinüsünün $1/2$ olduğunu biliyoruz. Bu açı, $\arcsin$ fonksiyonunun tanım aralığı olan $[-\pi/2, \pi/2]$ içindedir.
Yani, $\arcsin(1/2) = \pi/6$ radyan.
Hangi açının kosinüsü $1/2$'dir? Yine birim çemberi veya özel üçgenleri düşündüğümüzde, $60^\circ$ (veya radyan cinsinden $\pi/3$) açısının kosinüsünün $1/2$ olduğunu biliyoruz. Bu açı, $\arccos$ fonksiyonunun tanım aralığı olan $[0, \pi]$ içindedir.
Yani, $\arccos(1/2) = \pi/3$ radyan.
Şimdi bulduğumuz bu iki değeri toplayalım:
$\arcsin(1/2) + \arccos(1/2) = \pi/6 + \pi/3$
Bu kesirleri toplamak için paydaları eşitleyelim:
$\pi/6 + (2\pi)/6 = (3\pi)/6 = \pi/2$
Aslında, $x \in [-1, 1]$ olmak üzere, $\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$ şeklinde genel bir özdeşlik bulunmaktadır. Bu soruda $x = 1/2$ olduğu için, doğrudan bu özdeşliği kullanarak da cevabı $\pi/2$ olarak bulabilirdik. Bu özdeşliği bilmek, bu tür soruları çok daha hızlı çözmenizi sağlar.
Buna göre, $\arcsin(1/2) + \arccos(1/2)$ ifadesinin değeri $\pi/2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
