P(x) = (m-2n)x³ + (2m+n)x² + (3m-4n)x + 5 polinomu ikinci dereceden bir polinom olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
1. Adım: Polinomun Derecesini Belirleme
Bir polinomun derecesi, o polinomdaki en yüksek dereceli terimin kuvvetidir. Soruda verilen $P(x)$ polinomu ikinci dereceden bir polinom olduğuna göre, $x^3$ teriminin katsayısı sıfır olmalı ve $x^2$ teriminin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
Polinomun ikinci dereceden olması için $x^3$ teriminin katsayısı sıfır olmalıdır. Bu, $x^3$ teriminin polinomda bulunmaması gerektiği anlamına gelir.
Bu durumda, $(m-2n) = 0$ olmalıdır.
Bu denklemden $m = 2n$ ilişkisini elde ederiz. Bu, $m$ ve $n$ arasındaki ilk ve en önemli bağlantımızdır.
3. Adım: $x^2$ Teriminin Katsayısının Sıfırdan Farklı Olması Koşulu
Polinomun gerçekten ikinci dereceden olması için $x^2$ teriminin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır. Eğer bu katsayı da sıfır olsaydı, polinomun derecesi daha düşük olurdu.
$x^2$ teriminin katsayısı $(2m+n)$'dir. Yani, $(2m+n) \neq 0$ olmalıdır.
Bulduğumuz $m = 2n$ ilişkisini bu eşitsizliğe yerine yazalım:
$2(2n) + n \neq 0$
$4n + n \neq 0$
$5n \neq 0$
Bu eşitsizlik, $n \neq 0$ olması gerektiğini gösterir. Eğer $n=0$ olsaydı, $m=2(0)=0$ olurdu ve $x^2$ teriminin katsayısı da $5(0)=0$ olurdu, bu durumda polinom ikinci dereceden olmazdı.
4. Adım: $m+n$ Toplamını Hesaplamak
Bizden $m+n$ toplamının değeri isteniyor. Daha önce bulduğumuz $m = 2n$ ilişkisini bu toplama yerine yazarak $m+n$ ifadesini sadece $n$ cinsinden yazabiliriz:
$m+n = (2n) + n$
$m+n = 3n$
Ayrıca $n \neq 0$ olduğunu bildiğimiz için, $m+n$ toplamı da sıfır olamaz.
5. Adım: $m+n$ Toplamının Değerini Bulma
$m+n = 3n$ eşitliğini ve $n \neq 0$ koşulunu sağlayan bir $m+n$ değeri arıyoruz. Seçenekler arasında bu koşulları sağlayan bir değer bulmalıyız.
Eğer $m+n = 4$ ise (D seçeneği), bu durumda $3n = 4$ eşitliğinden $n = \frac{4}{3}$ sonucuna ulaşırız.
Bu $n$ değeri ($n = \frac{4}{3}$) sıfırdan farklıdır, dolayısıyla 3. adımdaki koşulumuzu sağlar.
Bu $n$ değeri için $m = 2n = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ olur.
Şimdi bu $m$ ve $n$ değerlerinin ($m=\frac{8}{3}$, $n=\frac{4}{3}$) polinomun ikinci dereceden olması için gerekli olan tüm koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
Gördüğümüz gibi, $m=\frac{8}{3}$ ve $n=\frac{4}{3}$ değerleri polinomun ikinci dereceden olması koşulunu sağlamaktadır ve bu durumda $m+n = \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$ olur.
