🎓 Köklü sayılarda sıralama Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, "Köklü sayılarda sıralama Test 1" testinde karşılaşacağınız temel konuları, yani köklü sayıları anlama ve farklı durumlarda nasıl sıralayacağınızı basitleştirilmiş bir dille özetlemektedir. Amacımız, karmaşık görünen bu konuyu anlaşılır ve akılda kalıcı hale getirmektir.
📌 Köklü Sayı Nedir?
Köklü sayılar, bir sayının hangi sayının bir kuvveti olduğunu gösteren matematiksel ifadelerdir. Genellikle bir sayının karekökü, küpkökü gibi hallerini ifade ederiz.
- 📝 Bir sayının kökünü almak, o sayıyı tekrar kendisiyle çarptığımızda orijinal sayıyı veren değeri bulmaktır. Örneğin, $\sqrt{25} = 5$ çünkü $5 \times 5 = 25$.
- 📝 Genel gösterimi $\sqrt[n]{a}$ şeklindedir. Burada $n$ kök derecesi, $a$ ise kök içindeki sayıdır. Eğer $n$ yazmıyorsa, kök derecesi $2$ (karekök) demektir.
📌 Köklü Sayıları Sıralarken Temel Prensip
Köklü sayıları sıralamanın en güvenilir yolu, onları "aynı formata" getirmektir. Bu genellikle ya tüm sayıları kök içine almak ya da kök derecelerini eşitlemek anlamına gelir.
- 💡 **İpucu:** Karşılaştırma yaparken sayıların pozitif olduğunu varsayıyoruz. Negatif sayılar için durum biraz farklıdır, ona sonra değineceğiz.
📌 Kök Dereceleri Aynı Olan Köklü Sayıları Sıralama
Eğer karşılaştırdığınız tüm köklü sayıların kök dereceleri aynı ise, işiniz çok kolaydır!
- 📝 Kök dereceleri aynı olan pozitif köklü sayılarda, kök içindeki sayısı büyük olan sayı daha büyüktür.
- Örnek: $\sqrt{7}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{10}$ sayılarını sıralayalım. Kök dereceleri hepsi $2$ olduğu için, kök içindeki sayılara bakarız: $3 < 7 < 10$. Dolayısıyla sıralama $\sqrt{3} < \sqrt{7} < \sqrt{10}$ olur.
📌 Kök Dereceleri Farklı Olan Köklü Sayıları Sıralama
Kök dereceleri farklıysa, onları eşitlememiz gerekir. Bu işlemi, kök derecelerinin en küçük ortak katını (EKOK) bularak yaparız.
- 📝 Kök derecesini bir sayı ile çarptığımızda, kök içindeki sayının kuvvetini de aynı sayıyla çarpmalıyız. Yani $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$ kuralını kullanırız.
- Örnek: $\sqrt[3]{5}$ ve $\sqrt{3}$ sayılarını sıralayalım. Kök dereceleri $3$ ve $2$'dir. EKOK($3, 2$) $= 6$.
- $\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$
- $\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$
- Şimdi kök dereceleri aynı olduğu için kök içlerine bakarız: $25 < 27$. O halde $\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}$, yani $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.
⚠️ **Dikkat:** Kök derecesini büyütürken, kök içindeki sayının kuvvetini de aynı oranda artırmayı unutmayın!
📌 Katsayısı Olan Köklü Sayıları Sıralama
Bazen köklü sayıların önünde bir katsayı (çarpım halinde bir sayı) bulunur. Bu durumda sıralama yapmak için katsayıyı kök içine almamız gerekir.
- 📝 Katsayıyı kök içine alırken, kök derecesi kadar kuvvetini alarak içeri sokarız. Yani $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$ kuralını kullanırız.
- Örnek: $2\sqrt{5}$ ve $3\sqrt{2}$ sayılarını sıralayalım.
- $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$
- $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$
- Şimdi her ikisi de $\sqrt{20}$ ve $\sqrt{18}$ haline geldi. Kök içlerine bakarız: $18 < 20$. O halde $3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}$.
💡 **İpucu:** Günlük hayatta, bir elmanın ağırlığını ölçmek için onu tartının üzerine koymak gibidir. Farklı boyutlardaki elmaları karşılaştırmak için hepsini aynı tartıya koyarız.
📌 Negatif Köklü Sayıları Sıralama
Pozitif sayılarda büyük olan sayı, negatif sayılarda küçüktür. Bu temel kural köklü sayılar için de geçerlidir.
- 📝 Önce sayıları pozitifmiş gibi sıralarız. Sonra sıralamayı tersine çeviririz.
- Örnek: $-\sqrt{7}$ ve $-\sqrt{5}$ sayılarını sıralayalım.
- Pozitif olsalardı: $\sqrt{5} < \sqrt{7}$
- Negatif oldukları için sıralama tersine döner: $-\sqrt{7} < -\sqrt{5}$
⚠️ **Dikkat:** Negatif sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür. Örneğin, $-2 > -5$ gibi.
