Bir uçak, yerden 500 metre yükseklikte sabit hızla doğu yönünde ilerlemektedir. Uçağın hız vektörü \( \vec{v} = 200\vec{i} + 0\vec{j} \) km/sa olarak veriliyor. 30 dakika sonra uçağın konum vektöründeki değişim nedir? ( \(\vec{i}\) doğu, \(\vec{j}\) kuzey yönünü temsil etmektedir)
A) \( 100\vec{i} + 500\vec{j} \)
B) \( 100\vec{i} + 0\vec{j} \)
C) \( 200\vec{i} + 500\vec{j} \)
D) \( 0\vec{i} + 100\vec{j} \)
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir uçağın sabit hızla hareket ederken belirli bir süre sonra konum vektöründeki değişimi bulmamız isteniyor. Vektörler ve birimler arası dönüşümler bu tür problemlerde çok önemlidir. Şimdi adım adım çözüme geçelim.
-
Adım 1: Verilenleri Anlayalım ve Hedefi Belirleyelim.
- Uçağın hızı (sabit): $ \vec{v} = 200\vec{i} + 0\vec{j} $ km/sa. Burada $ \vec{i} $ doğu yönünü, $ \vec{j} $ kuzey yönünü temsil ediyor. Hız vektörünün $ \vec{j} $ bileşeninin sıfır olması, uçağın kuzey-güney doğrultusunda hareket etmediğini, sadece doğu-batı doğrultusunda hareket ettiğini gösterir.
- Geçen süre: $ \Delta t = 30 $ dakika.
- Uçağın yerden yüksekliği: 500 metre. Bu bilgi, uçağın yatay düzlemdeki konum değişimini hesaplarken doğrudan kullanılmayacaktır, çünkü hız vektörü zaten yatay düzlemdeki hareketi tanımlamaktadır ve $ \vec{i}, \vec{j} $ vektörleri yatay yönleri temsil etmektedir. Konum vektöründeki değişim sadece yatay hareketi ifade eder.
- Bizden istenen: 30 dakika sonra uçağın konum vektöründeki değişim, yani $ \Delta\vec{r} $.
-
Adım 2: Birimleri Uyumlu Hale Getirelim.
- Hız birimi kilometre/saat (km/sa) iken, zaman birimi dakikadır. Hesaplama yapabilmek için zaman birimini saate çevirmemiz gerekir.
- 1 saat = 60 dakika olduğuna göre, 30 dakika kaç saattir?
- $ \Delta t = 30 \text{ dakika} = \frac{30}{60} \text{ saat} = 0.5 \text{ saat} $.
-
Adım 3: Konum Vektöründeki Değişim Formülünü Kullanalım.
- Sabit hızla hareket eden bir cismin konum vektöründeki değişim (yer değiştirme), hız vektörü ile geçen sürenin çarpımıyla bulunur:
- $ \Delta\vec{r} = \vec{v} \times \Delta t $
-
Adım 4: Hesaplamaları Yapalım.
- Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:
- $ \Delta\vec{r} = (200\vec{i} + 0\vec{j}) \text{ km/sa} \times 0.5 \text{ sa} $
- Vektörün her bir bileşenini zaman ile çarpıyoruz:
- $ \Delta\vec{r} = (200 \times 0.5)\vec{i} + (0 \times 0.5)\vec{j} $
- $ \Delta\vec{r} = 100\vec{i} + 0\vec{j} $ km
-
Adım 5: Sonucu Yorumlayalım.
- Bulduğumuz $ \Delta\vec{r} = 100\vec{i} + 0\vec{j} $ km ifadesi, uçağın 30 dakika içinde doğu yönünde 100 km yer değiştirdiğini ve kuzey-güney yönünde herhangi bir yer değiştirme yapmadığını gösterir.
- Bu sonuç, seçeneklerle karşılaştırıldığında B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
