Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir ifadenin küp açılımındaki belirli bir terimin katsayısını bulacağız. Bu tür soruları çözmek için binom açılımı formülünü kullanmak en pratik yoldur. Haydi adım adım çözelim:
- Öncelikle, $(a+b)^n$ şeklindeki bir ifadenin binom açılımı formülünü hatırlayalım. Genel terim, $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ şeklindedir.
- Bizim ifademiz $(2x+1)^3$. Burada $a = 2x$, $b = 1$ ve $n = 3$'tür.
- Bizden $x^2$'li terimin katsayısı isteniyor. Genel terimi kullanarak $x^2$'li terimi bulalım:
- Genel terim: $\binom{3}{k} (2x)^{3-k} (1)^k$
- $x$'in kuvvetinin 2 olmasını istiyoruz, yani $(2x)^{3-k}$ ifadesindeki $3-k$ değeri 2 olmalı.
- $3-k = 2 \implies k = 1$
- Şimdi $k=1$ değerini genel terim formülünde yerine yazalım:
- $T_{1+1} = T_2 = \binom{3}{1} (2x)^{3-1} (1)^1$
- $T_2 = \binom{3}{1} (2x)^2 (1)^1$
- $\binom{3}{1}$ ifadesinin değerini hesaplayalım:
- $\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(1) \times (2 \times 1)} = 3$
- $(2x)^2$ ifadesini hesaplayalım:
- $(2x)^2 = 2^2 \times x^2 = 4x^2$
- $(1)^1$ ifadesi ise $1$'e eşittir.
- Şimdi tüm bu değerleri bir araya getirelim:
- $T_2 = 3 \times (4x^2) \times 1$
- $T_2 = 12x^2$
- Bu terimdeki $x^2$'nin katsayısı $12$'dir.
Bu durumda, doğru cevap B seçeneğidir.
