Logaritma toplama kuralı (Çarpmaya dönüştürme) Test 1

log₂a + log₂b = 6 ve log₂(a²b) = 8 olduğuna göre, a değeri kaçtır?

A) 2
B) 4
C) 8
D) 16

Bu soruda logaritma özelliklerini kullanarak bir denklem sistemini çözmemiz gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Logaritma Özelliklerini Hatırlayalım

Logaritma işlemlerinde kullanacağımız temel özellikler şunlardır:

$log_c x + log_c y = log_c (xy)$ (Logaritmaların toplamı, içlerinin çarpımına eşittir)
$log_c x^n = n \cdot log_c x$ (Logaritmanın içindeki üs, logaritmanın önüne çarpım olarak gelir)
$log_c x = y \implies x = c^y$ (Logaritmik ifadeyi üslü ifadeye çevirme)

• Adım 2: İlk Denklemi Düzenleyelim

Bize verilen ilk denklem: $log_2a + log_2b = 6$

Yukarıdaki ilk özelliği kullanarak bu denklemi sadeleştirelim:

$log_2(ab) = 6$

Şimdi bu logaritmik ifadeyi üslü ifadeye çevirelim:

$ab = 2^6$

$ab = 64$ (Bu bizim ilk önemli sonucumuz olsun.)

• Adım 3: İkinci Denklemi Düzenleyelim

Bize verilen ikinci denklem: $log_2(a^2b) = 8$

Bu denklemi de logaritma özelliklerini kullanarak açalım:

$log_2(a^2) + log_2(b) = 8$

Şimdi ikinci özelliği kullanarak $log_2(a^2)$ ifadesini düzenleyelim:

$2 \cdot log_2a + log_2b = 8$ (Bu da ikinci önemli sonucumuz olsun.)

• Adım 4: Bir Denklem Sistemi Oluşturalım ve Çözelim

Şimdi elimizde $log_2a$ ve $log_2b$ ifadeleri için bir denklem sistemi var. İşleri kolaylaştırmak için $log_2a = x$ ve $log_2b = y$ diyelim.

Orijinal denklemlerimiz bu yeni değişkenlerle şöyle olur:

$x + y = 6$ (İlk denklemden)
$2x + y = 8$ (İkinci denklemden)

Bu iki denklemi alt alta yazıp yok etme metoduyla çözelim. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:

$(2x + y) - (x + y) = 8 - 6$

$x = 2$

$x$ değerini bulduğumuza göre, ilk denkleme yerine yazarak $y$ değerini bulalım:

$2 + y = 6$

$y = 4$

• Adım 5: $a$ Değerini Bulalım

Hatırlayalım ki $x = log_2a$ idi. Biz $x=2$ bulduk. O zaman:

$log_2a = 2$

Bu logaritmik ifadeyi üslü ifadeye çevirirsek:

$a = 2^2$

$a = 4$

İsterseniz $b$ değerini de bulabiliriz: $y = log_2b = 4 \implies b = 2^4 = 16$.

Bulduğumuz $a=4$ ve $b=16$ değerlerini orijinal denklemlerde yerine koyarak sağlamasını yapabilirsiniz. Her iki denklem de sağlanacaktır.

Cevap B seçeneğidir.