6. sınıf Fen Bilimleri Güneş ve Ay tutulması modelleri ve etkinlikleri Test 1

Ay tutulması sırasında Dünya'nın gölgesi Ay'ın üzerine düşer. Bir öğrenci Ay tutulması modeli hazırlarken Dünya'nın gölge konisinin uzunluğunu hesaplamak istiyor. Dünya'nın yarıçapı 6370 km ve Güneş ile Dünya arasındaki mesafe 150 milyon km olduğuna göre, gölge konisinin uzunluğu yaklaşık kaç km'dir? ($\frac{6370}{150000000} \approx 0.0000425$)

A) 1.38 milyon
B) 384 bin
C) 150 milyon
D) 6370

Ay tutulması sırasında Dünya'nın gölgesinin Ay üzerine düşmesi olayı, Güneş, Dünya ve Ay'ın özel bir hizalanmasıyla gerçekleşir. Dünya'nın gölgesi, Güneş'ten gelen ışınların Dünya tarafından engellenmesiyle oluşur ve bir koni şeklindedir. Bu koninin uzunluğunu hesaplamak için benzer üçgenler prensibini kullanabiliriz.

• 1. Gölge Konisinin Geometrisini Anlayalım:

  Güneş'ten gelen ışınlar Dünya'ya teğet geçerek Dünya'nın arkasında bir gölge konisi oluşturur. Bu koninin ucu (apeksi), Güneş, Dünya ve gölge konisinin ekseni üzerinde yer alır. Bu durumu iki benzer dik üçgenle modelleyebiliriz:

  Birinci üçgen: Güneş'in merkezinden gölge konisinin apeksine kadar olan mesafeyi taban, Güneş'in yarıçapını ($R_S$) yüksekliği olarak alır.

  İkinci üçgen: Dünya'nın merkezinden gölge konisinin apeksine kadar olan mesafeyi (bu bizim aradığımız gölge konisinin uzunluğu, $L$) taban, Dünya'nın yarıçapını ($R_D$) yüksekliği olarak alır.

• 2. Benzer Üçgenler Prensibini Uygulayalım:

  Bu iki benzer üçgen arasındaki oranları yazabiliriz. Güneş'in yarıçapını $R_S$, Dünya'nın yarıçapını $R_D$, Güneş ile Dünya arasındaki mesafeyi $D_{GS}$ ve gölge konisinin uzunluğunu $L$ olarak tanımlayalım.

  Benzer üçgenlerden şu oranı elde ederiz:

  $\frac{R_D}{L} = \frac{R_S}{D_{GS} + L}$

  Bu denklemi $L$ için çözelim:

  $R_D (D_{GS} + L) = R_S L$

  $R_D D_{GS} + R_D L = R_S L$

  $R_D D_{GS} = L (R_S - R_D)$

  $L = \frac{R_D D_{GS}}{R_S - R_D}$

  Bu formülü, pay ve paydayı $D_{GS}$ ile bölerek yeniden düzenleyebiliriz:

  $L = \frac{R_D / D_{GS}}{(R_S / D_{GS}) - (R_D / D_{GS})}$

• 3. Verilen Değerleri ve Gerekli Bilgileri Kullanalım:

  Soruda verilen değerler:

  • Dünya'nın yarıçapı ($R_D$) = $6370$ km
  • Güneş ile Dünya arasındaki mesafe ($D_{GS}$) = $150$ milyon km = $150,000,000$ km

  Soruda bize $\frac{6370}{150000000} \approx 0.0000425$ değeri verilmiş. Bu, $R_D / D_{GS}$ oranıdır.

  Güneş'in yarıçapı ($R_S$) doğrudan verilmemiştir. Ancak, Güneş'in yarıçapının Dünya'nın yarıçapının yaklaşık $109$ katı olduğu ($R_S \approx 109 \times R_D$) bilinen bir astronomi bilgisidir. Bu bilgiyi kullanarak $R_S / D_{GS}$ oranını bulabiliriz:

  $R_S / D_{GS} \approx (109 \times R_D) / D_{GS} = 109 \times (R_D / D_{GS})$

  $R_S / D_{GS} \approx 109 \times 0.0000425 \approx 0.0046325$

• 4. Gölge Konisinin Uzunluğunu Hesaplayalım:

  Şimdi bulduğumuz oranları $L$ formülüne yerleştirelim:

  $L = \frac{R_D}{ (R_S / D_{GS}) - (R_D / D_{GS}) }$

  $L = \frac{6370 \text{ km}}{0.0046325 - 0.0000425}$

  $L = \frac{6370 \text{ km}}{0.00459}$

  $L \approx 1,387,799.5 \text{ km}$

  Bu değeri milyon cinsinden ifade edersek yaklaşık $1.39$ milyon km olur. Seçeneklerdeki en yakın değer $1.38$ milyon km'dir.

Cevap A seçeneğidir.