Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $a$ ve $b$ reel sayılar olmak üzere, $a < b$ koşulunu sağlayan her durum için hangi ifadenin kesinlikle doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Her bir seçeneği adım adım inceleyelim ve örneklerle test edelim.
-
Verilen Koşul: $a$ ve $b$ reel sayılar ve $a < b$. Bu, $a$'nın $b$'den küçük olduğu anlamına gelir.
-
A) $a^2 < b^2$
- Bu ifade her zaman doğru mudur? Deneyelim.
- Eğer $a=1$ ve $b=2$ ise, $1 < 2$ koşulu sağlanır. $a^2 = 1^2 = 1$ ve $b^2 = 2^2 = 4$. Bu durumda $1 < 4$ yani $a^2 < b^2$ doğrudur.
- Peki ya negatif sayılar? Eğer $a=-3$ ve $b=-2$ ise, $-3 < -2$ koşulu sağlanır. $a^2 = (-3)^2 = 9$ ve $b^2 = (-2)^2 = 4$. Bu durumda $9 < 4$ ifadesi yanlıştır.
- Bir karşı örnek bulduğumuz için, $a^2 < b^2$ ifadesi kesinlikle doğru değildir.
-
B) $\sqrt{a} < \sqrt{b}$
- Bu ifadenin tanımlı olabilmesi için $a$ ve $b$'nin negatif olmaması gerekir (yani $a \ge 0$ ve $b \ge 0$). Ancak soruda $a$ ve $b$'nin sadece reel sayılar olduğu belirtilmiştir, negatif olamayacakları söylenmemiştir.
- Eğer $a=-1$ ve $b=1$ ise, $-1 < 1$ koşulu sağlanır. Ancak $\sqrt{-1}$ bir reel sayı değildir. Bu durumda ifade tanımlı bile değildir.
- Eğer $a$ ve $b$ pozitif olsaydı (örneğin $a=4, b=9$), $4 < 9$ koşulu sağlanır. $\sqrt{4} = 2$ ve $\sqrt{9} = 3$. Bu durumda $2 < 3$ yani $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ doğru olurdu.
- Ancak, $a$ ve $b$ her zaman pozitif olmak zorunda olmadığı için, bu ifade kesinlikle doğru değildir.
-
C) $a + c < b + c$ (c $\in$ R)
- Bu ifade, eşitsizliklerin temel bir özelliğidir: Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı reel sayıyı eklemek veya çıkarmak, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
- Verilen koşul $a < b$ idi. Her iki tarafa da herhangi bir $c$ reel sayısını eklersek, eşitsizlik bozulmaz: $a + c < b + c$.
- Örneklerle test edelim:
- Eğer $a=1, b=2$ ve $c=3$ ise, $1 < 2$ koşulu sağlanır. $1+3 < 2+3 \implies 4 < 5$. Bu doğrudur.
- Eğer $a=-5, b=-2$ ve $c=10$ ise, $-5 < -2$ koşulu sağlanır. $-5+10 < -2+10 \implies 5 < 8$. Bu da doğrudur.
- Eğer $a=0, b=5$ ve $c=-3$ ise, $0 < 5$ koşulu sağlanır. $0+(-3) < 5+(-3) \implies -3 < 2$. Bu da doğrudur.
- Bu özellik, reel sayılar kümesinde her zaman geçerlidir.
-
D) $1/a > 1/b$
- Bu ifadenin tanımlı olabilmesi için $a \ne 0$ ve $b \ne 0$ olması gerekir. Soruda $a$ ve $b$'nin sıfır olamayacağı belirtilmemiştir.
- Eğer $a=-1$ ve $b=1$ ise, $-1 < 1$ koşulu sağlanır. $1/a = 1/(-1) = -1$ ve $1/b = 1/1 = 1$. Bu durumda $-1 > 1$ ifadesi yanlıştır. (Aslında $-1 < 1$ olmalıdır.)
- Eğer $a=2$ ve $b=3$ ise, $2 < 3$ koşulu sağlanır. $1/a = 1/2$ ve $1/b = 1/3$. Bu durumda $1/2 > 1/3$ ifadesi doğrudur.
- Eğer $a=-3$ ve $b=-2$ ise, $-3 < -2$ koşulu sağlanır. $1/a = -1/3$ ve $1/b = -1/2$. Bu durumda $-1/3 > -1/2$ ifadesi yanlıştır. (Aslında $-1/3 > -1/2$ değil, $-1/3 > -1/2$ yanlıştır, $-1/3$ daha büyüktür.) Düzeltme: $-1/3 \approx -0.33$ ve $-1/2 = -0.5$. Yani $-0.33 > -0.5$ doğrudur.
- Ancak, $a$ ve $b$ farklı işaretlere sahip olduğunda (örneğin $a < 0 < b$), $1/a$ negatif ve $1/b$ pozitif olacağından $1/a < 1/b$ olacaktır. Örneğin $a=-2, b=1$. $-2 < 1$. $1/a = -1/2$, $1/b = 1$. $-1/2 > 1$ yanlıştır.
- Bir karşı örnek bulduğumuz için, $1/a > 1/b$ ifadesi kesinlikle doğru değildir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, sadece C seçeneğindeki ifadenin $a < b$ koşulunu sağlayan her durum için kesinlikle doğru olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
