Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = eˣ + x fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Her yerde azalandır
B) Her yerde artandır
C) x < 0 için azalan, x > 0 için artandır
D) x < 0 için artan, x > 0 için azalandır
Bir fonksiyonun artan veya azalan olup olmadığını anlamak için, o fonksiyonun birinci türevini incelememiz gerekir. Türevin işareti bize fonksiyonun davranışını gösterir:
- Eğer fonksiyonun birinci türevi ($f'(x)$) belirli bir aralıkta pozitifse ($f'(x) > 0$), fonksiyon o aralıkta artandır.
- Eğer fonksiyonun birinci türevi ($f'(x)$) belirli bir aralıkta negatifse ($f'(x) < 0$), fonksiyon o aralıkta azalandır.
Şimdi, verilen $f(x) = e^x + x$ fonksiyonu için bu adımları uygulayalım:
- Adım 1: Fonksiyonun birinci türevini bulalım.
Hatırlayalım ki:
- $e^x$ fonksiyonunun türevi yine $e^x$'tir.
- $x$ fonksiyonunun türevi $1$'dir.
Bu durumda, $f(x) = e^x + x$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ şu şekilde bulunur:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x) = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(x) = e^x + 1$
- Adım 2: Birinci türevin işaretini inceleyelim.
Bulduğumuz türev $f'(x) = e^x + 1$. Şimdi bu ifadenin her zaman pozitif mi, her zaman negatif mi, yoksa işaret değiştiren bir ifade mi olduğunu anlamamız gerekiyor.
- Üstel fonksiyon $e^x$ hakkında önemli bir bilgi: Gerçek sayılar kümesinde, $e^x$ fonksiyonu her zaman pozitiftir. Yani, her $x \in \mathbb{R}$ için $e^x > 0$'dır. (Grafiğini düşünürseniz, $e^x$ grafiği daima x ekseninin üzerindedir.)
- Madem ki $e^x$ her zaman pozitif, o zaman $e^x + 1$ ifadesi de her zaman pozitif olacaktır. Çünkü pozitif bir sayıya $1$ eklediğimizde sonuç yine pozitif ve hatta $1$'den büyük olacaktır. Yani, $e^x + 1 > 1$ olur.
Bu durumda, $f'(x) = e^x + 1$ ifadesi, her $x$ gerçek sayısı için daima pozitiftir ($f'(x) > 0$).
- Adım 3: Sonucu yorumlayalım.
Birinci türev $f'(x)$ her yerde pozitif olduğu için, $f(x)$ fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde her yerde artandır.
Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile uyuşmaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
