Soru:
\( h(x) = \frac{1}{x-1} \) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıklarda artan mı yoksa azalan mı olduğunu inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Bu bir rasyonel fonksiyondur. Tanım kümesine dikkat etmek gerekir (\( x \neq 1 \)).
- ➡️ İlk adım: Fonksiyonun türevini alalım. \( h(x) = (x-1)^{-1} \) şeklinde yazıp türev alırsak: \( h'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2} \).
- ➡️ İkinci adım: Türevin işaretini inceleyelim. Payda \( (x-1)^2 \) her zaman pozitiftir (x=1 hariç). Pay ise -1 (negatif) olduğu için, \( h'(x) = -\frac{(\text{pozitif bir sayı})}{(\text{pozitif bir sayı})} = \text{negatif} \) olur.
- ➡️ Üçüncü adım: Türev, tanım kümesinin her noktasında (\( (-\infty, 1) \) ve \( (1, \infty) \)) negatiftir.
✅ Sonuç: Fonksiyon, tanımlı olduğu her aralıkta (yani \( (-\infty, 1) \) ve \( (1, \infty) \) aralıklarında) sürekli azalandır.
