Soru:
\( k(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun artan/azalanlık durumunu inceleyiniz. (Not: Fonksiyon \( [0, \infty) \) aralığında tanımlıdır.)
Çözüm:
💡 Kök fonksiyonlarının türevini alarak davranışlarını inceleyebiliriz.
- ➡️ İlk adım: Fonksiyonun türevini alalım. \( k(x) = x^{1/2} \) → \( k'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
- ➡️ İkinci adım: Türevin tanım kümesi ve işaretini inceleyelim. Tanım kümesi \( (0, \infty) \)'dur (x=0'da türev yoktur).
- ➡️ Üçüncü adım: \( x > 0 \) için \( \sqrt{x} > 0 \) olduğundan, \( k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) her zaman pozitiftir.
✅ Sonuç: Türev tanım kümesindeki her noktada pozitif olduğu için, \( k(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu \( [0, \infty) \) aralığında artan bir fonksiyondur.
