Soru:
\( h(x) = \frac{1}{x-1} \) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıklarda artan mı yoksa azalan mı olduğunu araştırınız.
Çözüm:
💡 Rasyonel fonksiyonlarda önce tanım kümesine, sonra türevin işaretine bakarız.
- ➡️ 1. Adım: Tanım kümesini bulalım. Payda sıfır olamayacağı için \( x - 1 \neq 0 \) → \( x \neq 1 \). Tanım kümesi: \( (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \)
- ➡️ 2. Adım: Türev alalım: \( h(x) = (x-1)^{-1} \) → \( h'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2} \)
- ➡️ 3. Adım: Türevin işaretini inceleyelim. Payda her zaman pozitiftir (\( (x-1)^2 > 0 \)). Önündeki eksi işareti (\( - \)) nedeniyle türev TANIM KÜMESİNİN TAMAMINDA negatiftir.
✅ Sonuç: Fonksiyon, tanımlı olduğu her aralıkta (\( (-\infty, 1) \) ve \( (1, \infty) \)) azalandır.
