9. Sınıf Artan ve Azalan Fonksiyon Nedir?

\( h(x) = \frac{1}{x-1} \) fonksiyonu tanımlı olduğu aralıklarda (yani \( x \neq 1 \)) artan mıdır, azalan mıdır? Açıklayınız.

💡 Bu bir rasyonel fonksiyondur. Türevini alarak monotonluğunu inceleyebiliriz.

• ➡️ İlk adım, türev almak: \( h(x) = (x-1)^{-1} \) şeklinde yazılıp türev alınırsa, \( h'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2} \).
• ➡️ İkinci adım, türevin işaret analizini yapmaktır. Payda \( (x-1)^2 \) her zaman (x=1 dışında) pozitiftir. Pay ise -1 yani negatiftir.
• ➡️ Bu durumda, tüm tanım aralığında \( h'(x) < 0 \) olur.

✅ Fonksiyon, tanımlı olduğu her aralıkta (\( (-\infty, 1) \) ve \( (1, \infty) \)) ayrı ayrı daima azalandır. Ancak tüm reel sayılarda sürekli ve azalan değildir, x=1'de süreksizlik vardır.