Soru:
\( g(x) = x^3 - 3x \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyiniz.
Çözüm:
💡 Kübik bir fonksiyonun davranışını analiz edelim.
- ➡️ Birinci adım, türev almak: \( g'(x) = 3x^2 - 3 \).
- ➡️ İkinci adım, türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulmak: \( 3x^2 - 3 = 0 \) → \( x^2 = 1 \) → \( x = -1 \) ve \( x = 1 \).
- ➡️ Üçüncü adım, bu noktalarla oluşan aralıklarda türevin işaretini incelemek:
- \( x < -1 \) için (örneğin \( x=-2 \)): \( g'(-2) = 3(4)-3=9 > 0 \) → Artan.
- \( -1 < x < 1 \) için (örneğin \( x=0 \)): \( g'(0) = -3 < 0 \) → Azalan.
- \( x > 1 \) için (örneğin \( x=2 \)): \( g'(2) = 3(4)-3=9 > 0 \) → Artan.
✅ Fonksiyonun cevabı: \( (-\infty, -1) \) ve \( (1, \infty) \) aralıklarında artan, \( (-1, 1) \) aralığında ise azalandır.
