Soru:
\( k(x) = \sin(x) \) fonksiyonunun \( [0, 2\pi] \) aralığındaki artan ve azalan olduğu bölgeleri bulunuz.
Çözüm:
💡 Trigonometrik fonksiyonlarda türev bize artan/azalanlık hakkında bilgi verir.
- ➡️ 1. Adım: Türev alalım: \( k'(x) = \cos(x) \)
- ➡️ 2. Adım: Türevi sıfıra eşitleyelim: \( \cos(x) = 0 \) → \( [0, 2\pi] \) aralığında \( x = \frac{\pi}{2} \) ve \( x = \frac{3\pi}{2} \)
- ➡️ 3. Adım: İşaret tablosu yapalım.
- \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \) için: \( \cos(x) > 0 \) → Artan
- \( \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \) için: \( \cos(x) < 0 \) → Azalan
- \( \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \) için: \( \cos(x) > 0 \) → Artan
✅ Sonuç: \( \sin(x) \) fonksiyonu \( [0, \frac{\pi}{2}] \) ve \( [\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \) aralıklarında artan, \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \) aralığında azalandır.
