Soru:
Aşağıda verilen \( g(x) = x^3 - 3x \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu bir küp fonksiyonu olduğu için türevini alıp birinci türev testi uygulayacağız.
- ➡️ İlk adım: Fonksiyonun türevini alalım. \( g'(x) = 3x^2 - 3 \)
- ➡️ İkinci adım: Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım. \( 3x^2 - 3 = 0 \) → \( 3(x^2 - 1) = 0 \) → \( x = -1 \) ve \( x = 1 \).
- ➡️ Üçüncü adım: Bu noktalarla oluşan aralıklarda türevin işaretini inceleyelim.
- \( x < -1 \) için (örneğin x=-2): \( g'(-2) = 3(4)-3 = 9 > 0 \) → Artan
- \( -1 < x < 1 \) için (örneğin x=0): \( g'(0) = -3 < 0 \) → Azalan
- \( x > 1 \) için (örneğin x=2): \( g'(2) = 3(4)-3 = 9 > 0 \) → Artan
✅ Sonuç: Fonksiyon \( (-\infty, -1) \) ve \( (1, \infty) \) aralıklarında artan, \( (-1, 1) \) aralığında azalandır.
