Soru:
\( k(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (Fonksiyon \( [0, \infty) \) aralığında tanımlıdır).
- A) (0, ∞) aralığında sabit
- B) [0, ∞) aralığında azalan
- C) [0, ∞) aralığında artan
- D) (0, ∞) aralığında artan, [0, ∞) aralığında değil
Çözüm:
💡 Karekök fonksiyonunun türevini alarak veya grafiğini düşünerek artan/azalan olduğunu anlayabiliriz.
- ➡️ Birinci adım, türevini almaktır: \( k(x) = x^{1/2} \) → \( k'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
- ➡️ İkinci adım, türevin tanım aralığındaki işaretine bakmaktır. \( x > 0 \) için \( k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 \) olduğundan fonksiyon artandır.
- ➡️ x=0 noktasında türev tanımsız olmasına rağmen, fonksiyon [0, ∞) aralığının tamamında artandır. Çünkü her \( x_1 < x_2 \) için \( \sqrt{x_1} < \sqrt{x_2} \) sağlanır.
✅ Doğru cevap C seçeneğidir: Fonksiyon [0, ∞) aralığında artandır.
