Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $f(x) = \sin x$ fonksiyonunun $[0, 2\pi]$ aralığında hangi aralıkta artan olduğunu bulmamız isteniyor. Bir fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmak için türevini kullanırız. Haydi adım adım inceleyelim:
- 1. Adım: Fonksiyonun Türevini Bulma
- Bir $f(x)$ fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevini ($f'(x)$) almamız gerekir.
- Verilen fonksiyon $f(x) = \sin x$'tir.
- $\sin x$'in türevi $\cos x$'tir. Yani, $f'(x) = \cos x$.
- 2. Adım: Artanlık Koşulunu Uygulama
- Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta artan olması için, o aralıktaki birinci türevinin pozitif ($f'(x) > 0$) olması gerekir.
- Bizim durumumuzda, $f'(x) = \cos x$ olduğundan, $\cos x > 0$ eşitsizliğini sağlayan $x$ değerlerini bulmalıyız.
- 3. Adım: Türevin İşaretini İnceleme
- $\cos x$'in $[0, 2\pi]$ aralığındaki işaretini inceleyelim. Birim çemberi veya kosinüs fonksiyonunun grafiğini düşündüğümüzde:
- Kosinüs fonksiyonu, 1. bölgede $(0, \pi/2)$ pozitif değerler alır.
- Kosinüs fonksiyonu, 2. bölgede $(\pi/2, \pi)$ negatif değerler alır.
- Kosinüs fonksiyonu, 3. bölgede $(\pi, 3\pi/2)$ negatif değerler alır.
- Kosinüs fonksiyonu, 4. bölgede $(3\pi/2, 2\pi)$ pozitif değerler alır.
- Dolayısıyla, $f'(x) = \cos x > 0$ eşitsizliğini sağlayan aralıklar $(0, \pi/2)$ ve $(3\pi/2, 2\pi)$'dir. Bu aralıklarda $f(x) = \sin x$ fonksiyonu artandır.
- 4. Adım: Seçenekleri Değerlendirme
- Şimdi bulduğumuz bu aralıkları seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $(0, \pi)$: Bu aralıkta $(\pi/2, \pi)$ kısmı da bulunur ve bu kısımda $\cos x < 0$ olduğu için fonksiyon artan değildir.
- B) $(\pi/2, 3\pi/2)$: Bu aralıkta $\cos x$ her zaman negatiftir, dolayısıyla fonksiyon azalandır.
- C) $(\pi, 2\pi)$: Bu aralıkta $(\pi, 3\pi/2)$ kısmı da bulunur ve bu kısımda $\cos x < 0$ olduğu için fonksiyon artan değildir.
- D) $(3\pi/2, 2\pi)$: Bu aralıkta $\cos x$ her zaman pozitiftir. Bu, bizim bulduğumuz artan aralıklardan biridir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $f(x) = \sin x$ fonksiyonunun $(3\pi/2, 2\pi)$ aralığında artan olduğunu görüyoruz.
Cevap D seçeneğidir.
