Diziler AYT konu anlatımı Test 1

Bir geometrik dizide ilk terim 2 ve ortak çarpan 3'tür. Bu dizinin ilk 5 teriminin toplamı kaçtır?

A) 242
B) 244
C) 246
D) 248

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir geometrik dizinin ilk terimi ve ortak çarpanı verilmiş. Bizden istenen ise bu dizinin ilk 5 teriminin toplamını bulmak. Geometrik diziler ve toplamları konusu, matematikte sıkça karşımıza çıkan önemli bir konudur. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Tanımlayalım

  Bir geometrik dizide:

  • İlk terim ($a_1$) = $2$
  • Ortak çarpan ($r$) = $3$
  • İstenen terim sayısı ($n$) = $5$ (ilk 5 terimin toplamı)
• Adım 2: Geometrik Dizinin İlk 5 Terimini Hesaplayalım (İsteğe Bağlı Ama Anlayışı Artırır)

  Her terimi bulmak için bir önceki terimi ortak çarpan ile çarparız:

  • $a_1 = 2$
  • $a_2 = a_1 \times r = 2 \times 3 = 6$
  • $a_3 = a_2 \times r = 6 \times 3 = 18$
  • $a_4 = a_3 \times r = 18 \times 3 = 54$
  • $a_5 = a_4 \times r = 54 \times 3 = 162$

  Bu terimlerin toplamı: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$. Bu yöntem, terim sayısı az olduğunda işe yarar ancak terim sayısı çok olduğunda formül kullanmak daha pratiktir.

• Adım 3: Geometrik Dizinin İlk $n$ Teriminin Toplam Formülünü Hatırlayalım

  Bir geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı ($S_n$) için kullanılan formül şöyledir:

  $S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$

  Bu formül, ortak çarpan $r \neq 1$ olduğunda geçerlidir. Bizim durumumuzda $r=3$ olduğu için bu formülü kullanabiliriz.

• Adım 4: Verilen Değerleri Formülde Yerine Koyalım

  Şimdi elimizdeki değerleri ($a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 5$) formüle yerleştirelim:

  $S_5 = 2 \times \frac{3^5 - 1}{3 - 1}$

• Adım 5: İşlemleri Yapalım

  Şimdi adım adım hesaplamaları yapalım:

  • Önce $3^5$ değerini bulalım: $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3 = 243$.
  • Şimdi formüldeki pay kısmını hesaplayalım: $3^5 - 1 = 243 - 1 = 242$.
  • Şimdi formüldeki payda kısmını hesaplayalım: $3 - 1 = 2$.
  • Bulduğumuz değerleri formüle geri yerleştirelim: $S_5 = 2 \times \frac{242}{2}$.
  • Son olarak çarpma ve bölme işlemini yapalım: $S_5 = 2 \times 121 = 242$.
• Adım 6: Sonucu Belirtelim

  Geometrik dizinin ilk 5 teriminin toplamı $242$'dir.

Cevap A seçeneğidir.