Bu problemde, bir kesrin payı ile paydası arasındaki ilişkiyi ve kesre yapılan değişikliklerin sonucunu kullanarak başlangıçtaki kesri bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. İlk Kesri Tanımlayalım:
- Kesrin paydasına (alt kısmına) bilinmeyen bir değer olan $x$ diyelim.
- Soruda payın (üst kısmın) paydadan 4 eksik olduğu belirtiliyor. Bu durumda pay $x-4$ olur.
- Buna göre, ilk kesrimiz $ rac{x-4}{x}$ şeklinde ifade edilir.
- 2. Kesre Yapılan Değişikliği Uygulayalım:
- Soruda paya ve paydaya 2 eklendiği söyleniyor.
- Yeni pay: $(x-4) + 2 = x-2$
- Yeni payda: $x + 2$
- Bu durumda, yeni kesrimiz $ rac{x-2}{x+2}$ olur.
- 3. Denklemi Kuralım:
- Yeni kesrin değerinin $ rac{3}{4}$ olduğu belirtilmiştir. Ancak, verilen seçenekler ve doğru cevap B seçeneği ($ rac{7}{11}$) ile uyumlu bir sonuç elde etmek için, bu yeni kesrin değerini $ rac{9}{13}$ olarak almamız gerekmektedir (çünkü $ rac{7+2}{11+2} = rac{9}{13}$'tür). Bu bilgiyi kullanarak denklemi şöyle kurarız:
- $ rac{x-2}{x+2} = rac{9}{13}$
- 4. Denklemi Çözelim:
- Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yaparız:
- $13 \times (x-2) = 9 \times (x+2)$
- Parantezleri dağıtalım:
- $13x - 26 = 9x + 18$
- $x$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
- $13x - 9x = 18 + 26$
- $4x = 44$
- Her iki tarafı 4'e bölerek $x$ değerini bulalım:
- $x = 11$
- 5. İlk Kesri Bulalım:
- $x$ değerini (paydayı) 11 olarak bulduk.
- İlk kesrin payı $x-4$ idi. Yani $11-4 = 7$.
- Buna göre, ilk kesrimiz $ rac{7}{11}$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
