$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$ limitinin değeri kaçtır?
A) 0Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini bulmamız isteniyor. Limit problemlerini çözerken izlememiz gereken adımları birlikte inceleyelim.
Öncelikle, $x \to 3$ olduğu için $x=3$ değerini doğrudan fonksiyona yerleştirmeyi deneyelim. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$ şeklindedir.
$x=3$ için:
$f(3) = \frac{3^2-9}{3-3} = \frac{9-9}{0} = \frac{0}{0}$
Bu sonuç, $\frac{0}{0}$ belirsizliğini gösterir. Bu, limitin var olabileceği ancak fonksiyonun bu noktada tanımsız olduğu anlamına gelir. Belirsizlik durumunda, ifadeyi sadeleştirmemiz gerekir.
Pay kısmındaki ifadeye dikkat edelim: $x^2-9$. Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğidir. Hatırlayalım: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Burada $a=x$ ve $b=3$ olduğu için $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
Şimdi bu ifadeyi orijinal limite yerleştirelim:
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$
Limit alırken $x \to 3$ demek, $x$'in $3$'e çok yaklaştığı ancak $3$'e eşit olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle $x-3 \neq 0$ diyebiliriz. Pay ve paydadaki $(x-3)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$\lim_{x \to 3} (x+3)$
Şimdi sadeleşmiş ifade olan $x+3$ için $x=3$ değerini yerine koyabiliriz:
$3+3 = 6$
Böylece limitin değeri $6$ olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
