0/0 belirsizliği nasıl çözülür (Çarpanlara ayırma) Test 1

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x-2}$ limiti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Limit değeri 0'dır
B) Limit değeri 1'dir
C) Limit değeri -1'dir
D) Limit yoktur

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle bir limit sorusunu adım adım çözeceğiz. Limitler, matematikte fonksiyonların belirli bir noktaya yaklaşırken nasıl davrandığını anlamamızı sağlayan önemli bir konudur. Hadi başlayalım!

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi

  Öncelikle, limitini hesaplamak istediğimiz fonksiyonda $x$ yerine yaklaştığı değeri, yani $2$'yi koymayı deneriz. Fonksiyonumuz $\frac{x^2-5x+6}{x-2}$ şeklindedir.

  • Pay kısmına $x=2$ koyarsak: $2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.
  • Payda kısmına $x=2$ koyarsak: $2 - 2 = 0$.

  Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, limitin var olabileceğini ancak ifadeyi sadeleştirmemiz gerektiğini gösterir.

• Adım 2: Payı Çarpanlarına Ayırma

  Belirsizliği ortadan kaldırmak için genellikle pay veya paydayı çarpanlarına ayırırız. Burada pay kısmında $x^2-5x+6$ şeklinde ikinci dereceden bir ifade var. Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

  Çarpımları $6$ olan ve toplamları $-5$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-2$ ve $-3$'tür.

  Dolayısıyla, $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.

• Adım 3: İfadeyi Sadeleştirme

  Şimdi çarpanlarına ayırdığımız payı limit ifadesinde yerine yazalım:

  $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{x-2}$

  $x \to 2$ demek, $x$'in $2$'ye çok yaklaştığı ama asla $2$ olmadığı anlamına gelir. Bu yüzden $x-2 \neq 0$ diyebiliriz ve $(x-2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz.

  İfade sadeleşince şöyle olur: $\lim_{x \to 2} (x-3)$

• Adım 4: Sadeleşmiş İfadeyi Hesaplama

  Artık sadeleşmiş ifadede $x$ yerine $2$ koyarak limiti kolayca hesaplayabiliriz:

  $2 - 3 = -1$

Böylece limitin değerini $-1$ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.