0/0 belirsizliği nasıl çözülür (Çarpanlara ayırma) Test 1

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2-25}{x^2-4x-5}$ limitinin değeri kaçtır?

A) $\frac{5}{3}$
B) $\frac{3}{2}$
C) $\frac{4}{3}$
D) $\frac{5}{2}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle limit konusuyla ilgili önemli bir soruyu adım adım çözeceğiz. Limit sorularında ilk yapmamız gereken her zaman doğrudan yerine koyma yöntemini denemektir. Eğer belirsizlik durumuyla karşılaşırsak, o zaman cebirsel yöntemlerle ifadeyi basitleştirmemiz gerekir.

Sorumuz: $\lim_{x \to 5} \frac{x^2-25}{x^2-4x-5}$ limitinin değeri kaçtır?

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi

  Öncelikle $x=5$ değerini ifadeye doğrudan yerine koyalım:

  • Pay: $x^2-25 = 5^2-25 = 25-25 = 0$
  • Payda: $x^2-4x-5 = 5^2-4(5)-5 = 25-20-5 = 0$

  Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, ifadenin sadeleştirilebilir olduğunu gösterir.

• Adım 2: İfadeyi Çarpanlarına Ayırma

  Belirsizliği ortadan kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekiyor.

  • Payı çarpanlarına ayıralım: $x^2-25$ ifadesi iki kare farkıdır. Yani $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ kuralını kullanarak:
    $x^2-25 = (x-5)(x+5)$
  • Paydayı çarpanlarına ayıralım: $x^2-4x-5$ ifadesi ikinci dereceden bir denklemdir. Çarpımları $-5$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-5$ ve $1$'dir.
    $x^2-4x-5 = (x-5)(x+1)$
• Adım 3: İfadeyi Sadeleştirme

  Şimdi çarpanlarına ayırdığımız ifadeleri limit denkleminde yerine yazalım:

  $\lim_{x \to 5} \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+1)}$

  $x \to 5$ demek, $x$ değerinin $5$'e çok yaklaştığı ancak $5$ olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle $(x-5)$ terimi sıfır değildir ve pay ile paydadaki $(x-5)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $\lim_{x \to 5} \frac{x+5}{x+1}$

• Adım 4: Sadeleşmiş İfadenin Limitini Hesaplama

  Şimdi sadeleşmiş ifadede $x=5$ değerini yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz:

  $\frac{5+5}{5+1} = \frac{10}{6}$

• Adım 5: Sonucu Basitleştirme

  Elde ettiğimiz kesri en sade haline getirelim. Hem payı hem de paydayı $2$ ile bölebiliriz:

  $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Böylece limitin değerini $\frac{5}{3}$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.