$\lim_{x \to 3} \frac{x^3-27}{x^2-9}$ limiti hesaplanırken aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılır?
A) Sadece pay çarpanlara ayrılırBu tür limit sorularında ilk adım, $x$ değerini doğrudan ifadeye yerine koymaktır. Eğer bir belirsizlik durumu (örneğin $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$) ortaya çıkarsa, limiti hesaplamak için ek adımlar atmamız gerekir.
Öncelikle, $x=3$ değerini verilen ifadeye yerleştirelim:
Pay: $3^3 - 27 = 27 - 27 = 0$
Payda: $3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$
Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, hem payın hem de paydanın $(x-3)$ çarpanını içerdiği anlamına gelir. Belirsizliği ortadan kaldırmak için bu ortak çarpanı sadeleştirmemiz gerekir.
Belirsizliği gidermenin en yaygın yollarından biri, hem payı hem de paydayı çarpanlarına ayırmaktır. Böylece ortak çarpanları bulup sadeleştirebiliriz.
Payı çarpanlarına ayıralım: $x^3 - 27$. Bu, küpler farkı özdeşliğidir: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Burada $a=x$ ve $b=3$ olduğundan,
$x^3 - 27 = (x-3)(x^2+3x+3^2) = (x-3)(x^2+3x+9)$ olur.
Paydayı çarpanlarına ayıralım: $x^2 - 9$. Bu, kareler farkı özdeşliğidir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Burada $a=x$ ve $b=3$ olduğundan,
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ olur.
Şimdi limit ifadesini çarpanlarına ayrılmış halleriyle yeniden yazalım:
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}$
$x \to 3$ olduğundan, $x \neq 3$ demektir. Dolayısıyla $(x-3)$ ifadesi sıfır değildir ve pay ile paydadaki $(x-3)$ çarpanlarını sadeleştirebiliriz:
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2+3x+9}{x+3}$
Şimdi sadeleşmiş ifadede $x=3$ değerini tekrar yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz:
Pay: $3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$
Payda: $3 + 3 = 6$
Limitin değeri: $\frac{27}{6} = \frac{9}{2}$
Görüldüğü gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliğini gidermek ve limiti hesaplamak için hem payı hem de paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekti.
Cevap C seçeneğidir.
