10. Sınıf Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler Test 1

ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [BC], |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi G olduğuna göre |BG| kaç cm'dir?

A) \(\frac{10}{3}\)
B) \(\frac{8}{3}\)
C) \(\frac{5}{3}\)
D) \(\frac{4}{3}\)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir dik üçgenin ağırlık merkezinin bir köşeye olan uzaklığını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Üçgeni Tanıyalım ve Hipotenüsü Bulalım

  Soruda bize ABC'nin bir dik üçgen olduğu ve dik açının B köşesinde olduğu söyleniyor ($[AB] \perp [BC]$). Kenar uzunlukları $|AB| = 6$ cm ve $|BC| = 8$ cm olarak verilmiş. Bir dik üçgende iki dik kenarın uzunluğunu biliyorsak, üçüncü kenar olan hipotenüsün uzunluğunu Pisagor Teoremi'ni kullanarak bulabiliriz.

  Pisagor Teoremi'ne göre: (Hipotenüs)$^2$ = (Dik Kenar 1)$^2$ + (Dik Kenar 2)$^2$.

  Bu durumda, $|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2$ olur.

  Değerleri yerine yazalım:

  $|AC|^2 = 6^2 + 8^2$

  $|AC|^2 = 36 + 64$

  $|AC|^2 = 100$

  Her iki tarafın karekökünü alırsak:

  $|AC| = \sqrt{100}$

  $|AC| = 10$ cm bulunur.

• 2. Adım: Ağırlık Merkezi ve Kenarortay Kavramlarını Hatırlayalım

  G noktası üçgenin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır. Bir kenarortay, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.

  Bizden $|BG|$ uzunluğu istendiği için, B köşesinden çizilen kenarortayı bulmamız gerekiyor. Bu kenarortay, B köşesinden hipotenüs AC'nin orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. AC'nin orta noktasına M diyelim. O zaman B'den çizilen kenarortay BM doğru parçasıdır.

• 3. Adım: Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortayın Özelliğini Kullanalım

  Dik üçgenlerde çok önemli bir özellik vardır: Hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.

  Biz 1. adımda hipotenüs $|AC|$'yi $10$ cm olarak bulmuştuk. O halde, B köşesinden çizilen kenarortay BM'nin uzunluğu:

  $|BM| = \frac{|AC|}{2}$

  $|BM| = \frac{10}{2}$

  $|BM| = 5$ cm bulunur.

• 4. Adım: Ağırlık Merkezinin Kenarortayı Bölme Oranını Uygulayalım

  Ağırlık merkezi (G), bir kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani, kenarortayın köşeye yakın olan kısmı (BG) kenarortayın $\frac{2}{3}$'ü, kenara yakın olan kısmı (GM) ise $\frac{1}{3}$'üdür.

  Biz $|BG|$ uzunluğunu arıyoruz. Bu da $|BM|$ kenarortayının $\frac{2}{3}$'ü demektir.

  $|BG| = \frac{2}{3} \times |BM|$

  3. adımda $|BM|$'yi $5$ cm olarak bulmuştuk. Yerine yazalım:

  $|BG| = \frac{2}{3} \times 5$

  $|BG| = \frac{10}{3}$ cm bulunur.

Böylece, ABC dik üçgeninin ağırlık merkezi G olduğuna göre $|BG|$ uzunluğunu $\frac{10}{3}$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.