Soru:
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 9 \) cm, \( |AC| = 13 \) cm ve \( |BC| = 14 \) cm'dir. A köşesinden çizilen yüksekliğin (\( h_a \)) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir üçgende bir kenara ait yüksekliği bulmak için, o kenarın alanını iki farklı şekilde ifade edip eşitleriz. Üçgenin alanını Heron formülü ile bulup, yükseklik formülünde kullanacağız.
- ➡️ Önce üçgenin çevresinin yarısını (u) bulalım: \( u = \frac{9 + 13 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18 \) cm
- ➡️ Heron formülü ile alan (A): \( A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} = \sqrt{18 \cdot (18-9) \cdot (18-13) \cdot (18-14)} \)
- ➡️ İşlemleri yapalım: \( A = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 4} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 20} = \sqrt{3240} = \sqrt{36 \cdot 90} = 6\sqrt{90} = 6 \cdot 3\sqrt{10} = 18\sqrt{10} \) cm²
- ➡️ Şimdi yükseklik formülünü kullanalım: \( A = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot h_a \)
- ➡️ \( 18\sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_a \) → \( 18\sqrt{10} = 7 \cdot h_a \) → \( h_a = \frac{18\sqrt{10}}{7} \) cm
✅ Sonuç: \( h_a = \frac{18\sqrt{10}}{7} \) cm'dir.
