Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \), \( |AB| = 6 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm'dir. \( A \) köşesinden çizilen açıortayın \( [BC] \) kenarını kestiği nokta \( D \) olduğuna göre, \( |BD| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Açıortay teoremini kullanacağız. Bu teorem, bir açıortayın karşı kenarı, komşu kenarların uzunlukları oranında böldüğünü söyler: \( \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \).
- ➡️ Verilenler: \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm. Oran: \( \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).
- ➡️ \( |BD| = 3k \) ve \( |DC| = 4k \) diyelim. \( |BC| = |BD| + |DC| = 3k + 4k = 7k \).
- ➡️ Öncelikle \( |BC| \) kenarını bulmak için Kosinüs Teoremini kullanalım: \( |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(60^\circ) \).
- ➡️ Hesaplama: \( |BC|^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 64 - 48 = 52 \).
- ➡️ \( |BC| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \) cm.
- ➡️ \( 7k = 2\sqrt{13} \) ise \( k = \frac{2\sqrt{13}}{7} \).
- ➡️ \( |BD| = 3k = 3 \cdot \frac{2\sqrt{13}}{7} = \frac{6\sqrt{13}}{7} \) cm.
✅ \( |BD| \) uzunluğu \( \frac{6\sqrt{13}}{7} \) cm'dir.
