Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = 9 \) cm, \( |AC| = 15 \) cm ve \( A \) köşesinden çizilen yüksekliğin uzunluğu \( 6 \) cm'dir. Buna göre, \( |BC| \) kenarının uzunluğunun alabileceği farklı değerleri bulunuz.
Çözüm:
💡 Yükseklik, tabana indiğinde iki farklı durum oluşabilir: Dar Açılı Üçgen ve Geniş Açılı Üçgen. Her iki durumu da inceleyeceğiz.
- ➡️ Yükseklik \( [AH] \) olsun, \( |AH| = 6 \) cm. \( ABH \) ve \( ACH \) dik üçgenlerini oluşturalım.
- ➡️ \( ABH \) üçgeninde: \( |BH| = \sqrt{|AB|^2 - |AH|^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) cm.
- ➡️ \( ACH \) üçgeninde: \( |CH| = \sqrt{|AC|^2 - |AH|^2} = \sqrt{15^2 - 6^2} = \sqrt{225 - 36} = \sqrt{189} = 3\sqrt{21} \) cm.
- 1. Durum (Dar Açılı): H noktası, B ve C noktaları arasında yer alır. \( |BC| = |BH| + |CH| = 3\sqrt{5} + 3\sqrt{21} = 3(\sqrt{5} + \sqrt{21}) \) cm.
- 2. Durum (Geniş Açılı): Eğer \( \widehat{B} \) veya \( \widehat{C} \) geniş açı ise, H noktası BC doğru parçasının dışına taşar. Örneğin, \( \widehat{B} \) geniş açı ise, C noktası B ile H arasında kalır. Bu durumda \( |BC| = |CH| - |BH| = 3\sqrt{21} - 3\sqrt{5} = 3(\sqrt{21} - \sqrt{5}) \) cm.
✅ \( |BC| \) kenarının uzunluğu \( 3(\sqrt{5} + \sqrt{21}) \) cm veya \( 3(\sqrt{21} - \sqrt{5}) \) cm olabilir.
