Soru:
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 8 \) cm, \( |AC| = 6 \) cm ve bu iki kenar arasındaki açı \( 60^\circ \)'dir. A köşesinden çizilen açıortayın (\( n_a \)) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir üçgende bir köşeden çizilen açıortayın uzunluğu, açıortay teoremi veya formülü ile bulunur. A köşesinden çizilen açıortay \( |BC| \) kenarını, komşu kenarların oranında (\( |AB| : |AC| \)) böler.
- ➡️ Açıortay uzunluk formülü: \( n_a^2 = AB \cdot AC \cdot \left[1 - \left(\frac{BC}{AB + AC}\right)^2\right] \) ancak bu formül BC'yi gerektirir. Daha doğrudan formül: \( n_a^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC \) (Burada D, açıortayın BC'yi kestiği noktadır). Pratik formül: \( n_a = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\frac{A}{2})}{AB + AC} \)
- ➡️ A açısı \( 60^\circ \) olduğuna göre, \( \frac{A}{2} = 30^\circ \) ve \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- ➡️ Formülü uygulayalım: \( n_a = \frac{2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8 + 6} = \frac{96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{14} = \frac{48\sqrt{3}}{14} = \frac{24\sqrt{3}}{7} \) cm
✅ Sonuç: \( n_a = \frac{24\sqrt{3}}{7} \) cm'dir.
